Fundamentos Esenciales de Matemáticas: Ecuaciones, Inecuaciones, Semejanza y Geometría Trigonométrica

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Ecuaciones y Sistemas

Ecuaciones Bicuadradas

Para resolver ecuaciones bicuadradas, se siguen los siguientes pasos:

  1. Llamamos z a x2.
  2. Sustituimos z en la ecuación original.
  3. Resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida.
  4. Obtenemos los valores de x a partir de los valores de z.

Ecuaciones Radicales

Caso 1: Una sola raíz

  1. Despejamos el término que contiene el radical.
  2. Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminar el radical.
  3. Operamos y simplificamos la ecuación.
  4. Resolvemos la ecuación obtenida.
  5. Comprobación: Dado que hemos elevado al cuadrado, es fundamental comprobar la validez de las soluciones sustituyendo cada una en la ecuación inicial para descartar soluciones extrañas.

Caso 2: Dos o más raíces

  1. Despejamos uno de los términos que contiene un radical.
  2. Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar el primer radical.
  3. Operamos para despejar el otro radical (si aún queda uno).
  4. Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el segundo radical.
  5. Operamos y simplificamos la ecuación resultante.
  6. Resolvemos la ecuación obtenida.
  7. Comprobación: Es imprescindible comprobar todas las soluciones en la ecuación original.

Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden clasificarse en:

  • Compatibles Determinados: Tienen una solución única.
  • Compatibles Indeterminados: Tienen infinitas soluciones.
  • Incompatibles: No tienen ninguna solución.

Método de Sustitución

  1. Despejamos una de las incógnitas (por ejemplo, y) de una de las ecuaciones (por ejemplo, la segunda).
  2. Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación (la primera).
  3. Resolvemos la ecuación de una sola incógnita obtenida.
  4. Sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita.

Método de Reducción

  1. Multiplicamos una o ambas ecuaciones por números adecuados (por ejemplo, la primera ecuación por n y la segunda por m) para que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos.
  2. Sumamos ambas ecuaciones para eliminar una de las incógnitas.
  3. Hallamos el valor de la incógnita restante.
  4. Sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita.

Inecuaciones

Concepto de Inecuación

Las inecuaciones son desigualdades matemáticas en las que aparece una o más cantidades desconocidas, denominadas incógnitas.

Resolución de Inecuaciones de Primer Grado

Para resolver inecuaciones de primer grado, se siguen los siguientes pasos:

  1. Se identifican los datos y las condiciones del problema.
  2. Se elige la incógnita más adecuada y se plantea la inecuación correspondiente.
  3. Se aplica la regla de la suma (sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de la desigualdad).
  4. Se aplica la regla del producto (multiplicar o dividir por la misma cantidad a ambos lados, recordando invertir el sentido de la desigualdad si se multiplica o divide por un número negativo).
  5. Se interpretan los resultados obtenidos, expresando la solución como un intervalo o conjunto.
  6. Se comprueba la solución, verificando que los valores del intervalo satisfacen la inecuación original.

Resolución de Inecuaciones de Segundo Grado

Para resolver inecuaciones de segundo grado, se procede de la siguiente manera:

  1. Se factoriza el polinomio cuadrático correspondiente.
  2. Se determinan los puntos críticos (raíces del polinomio) que dividen la recta numérica en intervalos.
  3. Se comprueba el signo de cada factor en cada intervalo para determinar dónde se cumple la desigualdad.
  4. Se expresa la solución como la unión de los intervalos donde la desigualdad es verdadera.

Semejanza Geométrica

Conceptos Fundamentales de Semejanza

Figuras Semejantes

Dos figuras son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos correspondientes son iguales. La razón de esta proporción se denomina razón de semejanza.

Teorema de Tales

Aplicación en Triángulos

Dos triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. En esta configuración, los triángulos son semejantes.

Teorema General de Tales

Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos correspondientes determinados por las rectas paralelas sobre las secantes son proporcionales.

Criterios de Semejanza de Triángulos

Para determinar si dos triángulos son semejantes, se pueden aplicar los siguientes criterios:

  1. Primer Criterio (AA - Ángulo-Ángulo): Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos correspondientes iguales.
  2. Segundo Criterio (LAL - Lado-Ángulo-Lado): Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual.
  3. Tercer Criterio (LLL - Lado-Lado-Lado): Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados correspondientes proporcionales.

Teoremas Basados en la Semejanza

Teorema de la Altura

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Fórmula: h2 = m · n (donde h es la altura, m y n son las proyecciones de los catetos).

Teorema del Cateto

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Fórmulas: a2 = c · m y b2 = c · n (donde a y b son los catetos, c es la hipotenusa, m y n son las proyecciones de a y b respectivamente sobre la hipotenusa).

Trigonometría y Fórmulas Geométricas

Razones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo

El Radián

El radián es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene la misma longitud que el radio de dicha circunferencia.

Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

Para un ángulo agudo (α) en un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas fundamentales son:

  • Seno (sen α): Cateto opuesto / Hipotenusa (co / h)
  • Coseno (cos α): Cateto contiguo / Hipotenusa (cc / h)
  • Tangente (tg α): Cateto opuesto / Cateto contiguo (co / cc)

Fórmulas de Longitudes y Áreas de Figuras Planas

  • Triángulo: Área = (Base × Altura) / 2 (A = b · h / 2)
  • Rombo: Área = (Diagonal mayor × Diagonal menor) / 2 (A = D · d / 2)
  • Polígono Regular: Área = (Perímetro × Apotema) / 2 (A = P · a / 2)

Fórmulas de Áreas y Volúmenes de Cuerpos Geométricos

  • Cilindro:
    • Volumen = π · radio2 · altura (V = π · r2 · h)
    • Área Lateral = 2 · π · radio · altura (AL = 2 · π · r · h)
    • Área Total = 2 · π · radio · (radio + altura) (AT = 2 · π · r · (r + h))
  • Pirámide:
    • Volumen = (1/3) · Área de la base · altura (V = 1/3 · Abase · h)
    • Área Lateral = (Perímetro de la base · Apotema de la pirámide) / 2 (AL = Pbase · ap / 2)
  • Prisma:
    • Área Lateral = Perímetro de la base · altura (AL = Pbase · h)
    • Volumen = Área de la base · altura (V = Abase · h)
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