Fundamentos Esenciales de Geometría y Trigonometría

Introducción a la Geometría y Trigonometría

La Trigonometría comenzó con los babilonios y los egipcios, quienes establecieron las medidas en grados, minutos y segundos. Hiparco construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos.

La Geometría abarca conocimientos de longitudes, áreas y volúmenes. La invención de la rueda y los trabajos de Euler y Gauss condujeron a la topología y la geometría diferencial.

Conceptos Fundamentales de Geometría

• Punto: La parte más pequeña que se puede dibujar.
• Recta: La distancia entre dos puntos; es derecha, sin grosor ni extremos.
• Plano: Es ilimitado, continuo y sin grosor.
• Puntos colineales: Son puntos que están en la misma recta.
• Puntos coplanares: Son puntos que se encuentran en el mismo plano.
• Rectas intersecantes: Dos rectas con un punto en común.
• Rectas paralelas: Están en el mismo plano y no se intersecan.

Postulados Básicos

• Por un punto pueden pasar un número infinito de rectas.
• Por dos puntos solo pasa una recta.
• Tres puntos no alineados forman un plano.

Métodos y Principios Lógicos

• Método: Interpretado por los griegos como el camino a seguir, conduce al conocimiento.
• Deducción: Acción de sacar una cosa de otra o partir de ella.
• Deducir: Sacar consecuencias.
• Inducción: Método que permite obtener una generalización a partir de enunciados.
• Inducir: Partir de un hecho para llegar a una conclusión.
• Axioma: Se considera verdadero a causa de su obviedad (sin necesidad de explicación).
• Método Deductivo: Parte de datos generales para deducir varias suposiciones.
• Método Inductivo: De la observación de los hechos, obtenemos proposiciones generales.

Elementos Geométricos Adicionales

• Bisectriz: Segmento que divide un ángulo en dos partes iguales.
• Mediatriz: Recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio.

Ángulos: Definición y Clasificación

Un Ángulo es la apertura formada por dos semirrectas que se cortan en un punto llamado vértice.

Tipos de Ángulos por su Giro

• Ángulos positivos: Giran en sentido antihorario (a la izquierda).
• Ángulos negativos: Giran en sentido horario (a la derecha).

Clasificación de Ángulos por su Medida

• Ángulo agudo: Mide menos de 90°.
• Ángulo recto: Mide 90°.
• Ángulo obtuso: Mide más de 90° pero menos de 180°.
• Ángulo llano: Mide 180°, formando una línea recta.
• Ángulo cóncavo (o reflejo): Mide más de 180° pero menos de 360°.
• Ángulo perigonal (o completo): Mide 360°.

Clasificación de Ángulos por su Posición

• Ángulos consecutivos: Tienen en común un vértice y un lado que los separa.
• Ángulos adyacentes: Tienen un vértice y un lado en común, y sus lados no comunes están alineados.
• Ángulos complementarios: Al sumarlos, forman un ángulo recto (90°).
• Ángulos suplementarios: Al sumarlos, suman 180°.
• Ángulos conjugados: Dos ángulos que juntos suman 360°.

Cálculo de Ángulos

• Complemento: Se calcula restando el valor del ángulo a 90°.
• Suplemento: Se calcula restando el valor del ángulo a 180°.
• Conjugado: Se calcula restando el valor del ángulo a 360°.

Ángulos Formados por Rectas Paralelas y una Transversal

• Alternos internos: Se encuentran a lados opuestos de la transversal y en el interior de las paralelas.
• Alternos externos: Se encuentran a lados opuestos de la transversal y en el exterior de las paralelas.
• Opuestos por el vértice: Se forman en cada vértice y son iguales.

Unidades de Medida Angular y Conversiones

• 1° = 60' (minutos)
• 1' = 60'' (segundos)
• 1° = 3600''

Conversiones de Ángulos

• De grados a radianes: Multiplicar el número de grados por 0.0174 (aproximadamente π/180).
• De grados, minutos y segundos a forma decimal: Ejemplo: Para 40° 10' 15'', se calcula 40 + (10/60) + (15/3600).
• De forma decimal a grados, minutos y segundos: Ejemplo: Para 0.32° decimal, se multiplica 0.32 * 60 = 19.2'. Luego, 0.2 * 60 = 12''. Resultando en 0° 19' 12''.