Fundamentos Esenciales de Geometría Plana: Definiciones, Teoremas y Fórmulas Clave

Razón de Semejanza

La razón de semejanza ($k$) relaciona las medidas de figuras semejantes:

• $k$: Razón aplicada a longitudes y perímetros.
• $k^2$: Razón aplicada a áreas.
• $k^3$: Razón aplicada a volúmenes.

Teorema de Thales

Si dos rectas $r$ y $s$ son cortadas por dos o más rectas paralelas, los segmentos que estas determinan en $r$ y $s$ son proporcionales.

Polígonos

Figuras geométricas planas limitadas por una línea poligonal cerrada.

Propiedades Angulares

• La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°.
• La suma ($S$) de los $n$ ángulos interiores de un polígono convexo de $n$ lados es: $S = 180° imes (n-2)$.

Polígonos Regulares

Son aquellos polígonos donde todos sus lados y ángulos son iguales.

Elementos de un Polígono Regular

• Centro
• Vértice
• Lados
• Ángulos interiores
• Apotema
• Radio

Cálculo del Ángulo Interior

La medida ($a$) de cada ángulo interior de un polígono regular de $n$ lados es:

$a = \frac{180° \times (n-2)}{n}$

La Circunferencia y el Círculo

La Circunferencia

Es la línea formada por los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro ($O$). La distancia de cada punto al centro es el radio ($r$).

El Círculo

Es la porción del plano formada por los puntos que distan $r$ o menos unidades de longitud del centro.

Ángulos en la Circunferencia

Ángulo Central

Cualquier ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados son dos radios de la misma.

Ángulo Inscrito

Cualquier ángulo con vértice en un punto de la circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de la misma.

Puntos y Rectas Notables en el Triángulo

Las rectas notables de un triángulo se intersecan en puntos específicos, conocidos como puntos notables.

1. Medianas y Baricentro (G)

• Las medianas son las rectas que pasan por uno de sus vértices y por el punto medio del lado opuesto.
• Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado Baricentro (G).

2. Alturas y Ortocentro (H)

• Las alturas de un triángulo son las rectas que pasan por uno de sus vértices y son perpendiculares al lado opuesto.
• Las tres alturas se cortan en un punto llamado Ortocentro (H).

3. Mediatrices y Circuncentro (O)

• Las mediatrices son las rectas que pasan por el punto medio de cada uno de sus lados y son perpendiculares a dicho lado.
• Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado Circuncentro (O), que es el centro de la circunferencia circunscrita (esta circunferencia pasa por los tres vértices del triángulo).

4. Bisectrices e Incentro (I)

• Las bisectrices son las rectas que dividen a cada uno de sus ángulos interiores en dos partes iguales.
• Las tres bisectrices se cortan en un punto llamado Incentro (I), que es el centro de la circunferencia inscrita (esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo).

Lugar Geométrico

Es el conjunto de todos los puntos que verifican una misma propiedad.

Ejemplos Comunes de Lugares Geométricos

• Mediatriz
• Bisectriz
• Circunferencia
• Elipse
• Hipérbola
• Parábola