Fundamentos Esenciales de las Funciones Matemáticas: Dominio, Rango y Representación Gráfica

Conceptos Fundamentales de las Funciones Matemáticas

Una función es una relación entre dos variables a las que llamamos:

• x: variable independiente (ejemplo: tiempo).
• y: variable dependiente (ejemplo: distancia).

La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es función de x, lo cual se escribe como y = f(x).

Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o para expresar relaciones en matemática.

Elementos Clave de la Representación Gráfica

Dominio de la Función

Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente x. Dicho conjunto se representa sobre el eje horizontal, llamado eje x o eje de las abscisas. El dominio señala el tramo de la función, desde donde empieza hasta donde termina, y se señala con x.

Imagen, Codominio o Recorrido (Rango)

Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente y (también llamada función). Dicho conjunto se representa sobre el eje vertical o eje de las ordenadas.

Representación en Ejes Cartesianos

Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:

• La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).
• La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).

Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, la abscisa x y la ordenada y, representadas como (x; y). Los ejes deben estar en escala, pero no tienen por qué ser las mismas para ambos.

Condición de Existencia de una Función

Para que una relación entre dos variables sea función, es necesario que a todos y a cada valor de la variable independiente x le corresponda un único valor de la variable dependiente y.

Formas de Representación de Funciones

Las funciones se pueden representar de diversas maneras:

1. Mediante un texto: El importe que se paga es el producto de 8.50 por el número de kg adquiridos.
2. Mediante una tabla: El número de kg es la variable independiente y el importe es la variable dependiente.
3. Gráfico: El número de kg es la variable independiente y el importe es la variable dependiente.
4. Fórmula o Expresión Algebraica: Si llamamos P al importe en pesos y x al número de kg de naranjas, la fórmula es: P = 8.5 * x.
5. Conjuntos: Conjunto de partida y llegada (representados típicamente con óvalos).

Comportamiento de las Funciones (Monotonía)

El comportamiento de una función se describe según cómo varían sus valores de y respecto a los de x:

• Creciente: Al aumentar x, y también aumenta.
• Decreciente: Al aumentar x, y disminuye.
• Constante: Al aumentar x, y se mantiene constante.

Continuidad y Representación Gráfica

Una función que es continua en un tramo puede ser discontinua en otro. Las funciones pueden ser representadas gráficamente en los ejes cartesianos ortogonales, según la cual a cada par ordenado de la función le corresponde un punto en el plano, representado el primer elemento del par en el eje horizontal x y el segundo elemento del par en el eje vertical y.

Puntos de Intersección con los Ejes

Raíces de una Función (Intersección con el Eje X)

Las raíces de una función son los valores de x que hacen que y valga 0. Como y vale 0, la gráfica de la función corta al eje de las x en esos puntos. Como el eje de x es una recta real, puede suceder que la función no tenga contacto con el eje x, en cuyo caso la función no tiene raíces reales.

Ordenada al Origen (Intersección con el Eje Y)

La ordenada al origen es el valor que toma y cuando x vale 0. De esta forma, la ordenada es el punto en donde la gráfica de la función corta al eje de las y.

En resumen:

• El gráfico de una función corta al eje Y (ordenada al origen) cuando x vale 0.
• El gráfico de una función corta al eje X (raíces) cuando y vale 0.

Expresión Algebraica y Cálculo de Imágenes

Cuando existe una relación aritmética entre x e y, esta se puede expresar por medio de fórmulas o expresiones algebraicas. A partir de la fórmula, podemos calcular la imagen de cualquier valor perteneciente al dominio de la función.