Fundamentos Esenciales de Estadística y Probabilidad: Conceptos Clave

Fundamentos de la Estadística

Conceptos Fundamentales

Estadística Descriptiva

Técnicas que permiten describir elementos de un colectivo a partir de la información contenida en las observaciones realizadas en los elementos de dicho colectivo.

Inferencia Estadística

Técnicas que permiten extrapolar a un colectivo la información contenida en las observaciones realizadas en un subconjunto de elementos de un colectivo. Los resultados de inferencia llevan asociada una incertidumbre que se mide con el cálculo de probabilidades.

Probabilidad y Espacio Muestral

Espacio Muestral

Conjunto de todos los resultados posibles distintos que se pueden observar al realizar un experimento aleatorio. Se representa por $W$ o $\Omega$.

Sucesos

Es un subconjunto del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Se simbolizan con letras mayúsculas y se representa mediante el Diagrama de Venn.

Tipos de Sucesos:

• Simple: Solo un elemento del espacio muestral.
• Compuesto: Dos o más elementos del espacio muestral.
• Imposible.
• Seguro: Es $W$ (el espacio muestral completo).
• Contrario.

Función de Probabilidad (I)

La probabilidad es una función del conjunto del espacio muestral en un intervalo cerrado de los números reales, que cumple los siguientes axiomas:

• $P(W) = 1$
• Para todo suceso del espacio muestral, la probabilidad tiene que ser mayor o igual que cero.

Formas de Asignar Probabilidades:

• Laplace.
• Frecuentista: La probabilidad de $A$ es el límite de su frecuencia relativa cuando el número de veces que se realiza el experimento tiende a infinito.

Función de Probabilidad (II)

La probabilidad es una función del conjunto del espacio muestral en un intervalo cerrado de los números reales, que cumple los siguientes axiomas:

• $P(W) = 1$
• Para todo suceso del espacio muestral, la probabilidad tiene que ser mayor o igual que cero.

Formas de Asignar Probabilidades:

• Laplace.
• Frecuentista: La probabilidad de $A$ es el límite de su frecuencia relativa cuando el número de veces que se realiza el experimento tiende a infinito.

Variables Aleatorias (V.A.)

Concepto de Variable Aleatoria

Es una función definida sobre el espacio muestral que toma valores en la recta de los números reales. La definición transforma $W$ en un subconjunto de números reales denominado espacio muestral de la V.A. $X$, que es el conjunto de los valores posibles.

Función de Distribución

Es una función de los números reales en el conjunto de ellos, tal que:

• Es monótona no decreciente.
• Es continua por la derecha.
• Cuando $x$ tiende a infinito, $F(x) = 1$.
• Cuando $x$ tiende a menos infinito, $F(x) = 0$.

Con la función de distribución podemos calcular la probabilidad de que una variable aleatoria tome valores en un determinado intervalo.

Tipos de Variables Aleatorias

Variable Aleatoria Discreta (VAD)

Tiene como espacio muestral un conjunto finito o infinito numerable y una función de probabilidad. La función de distribución de VAD se trata de una función escalonada.

Variable Aleatoria Continua (VAC)

Tiene un espacio muestral no numerable y una función de distribución continua y derivable.

Momentos y Distribuciones

Momentos de Variable Aleatoria

Valores numéricos que proporcionan información sobre la V.A. $X$.

• Momento R sobre el origen de orden 1: Se denomina Esperanza Matemática o Media.
  • Propiedad de linealidad: $E(KX) = KE(X)$ (si $K$ es constante).
  • Propiedad aditiva: $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$.
• Momento de orden dos respecto a la media: Se denomina Varianza.
  • Propiedad: $V(KX) = KV(X)$ (si $K$ es constante y $K=0$). Nota: Esta formulación es específica del documento original.

Distribución de Bernoulli

Experimento aleatorio con solo dos resultados posibles, donde la probabilidad de ocurrencia de cada uno es la misma en cada experimento.

Distribución Binomial Negativa

Experimento de Bernoulli que se repite hasta que se obtiene el $K$-ésimo éxito.

Teoremas Centrales del Límite

Teorema Central del Límite (TCL)

Sea una sucesión de V.A. definidas todas ellas sobre un mismo experimento aleatorio con medias y varianzas finitas. Entonces, dicha sucesión obedece al Teorema Central del Límite si y solo si, a medida que aumenta $n$, la V.A. converge en la ley hacia la distribución normal.

Teorema de Lévy-Lindeberg

Una sucesión obedece al Teorema Central del Límite si sus V.A. son independientes y tienen la misma distribución con media y varianza finita.

Teorema de Moivre

Una sucesión obedece al Teorema Central del Límite si todas sus V.A. van asociadas a la repetición de un experimento de Bernoulli.

Variables Multidimensionales

Variable Aleatoria Bidimensional

Sean $X$ e $Y$ dos V.A. definidas sobre un mismo experimento aleatorio con espacio muestral $W$. Es una función definida sobre el espacio muestral que toma valores en el plano $R^2$. La definición de variable bidimensional transforma el espacio muestral $W$ en un subconjunto del plano $R^2$ denominado espacio muestral de la V.A. $(X, Y)$, que es el conjunto de posibles valores diferentes que puede tomar la V.A. $(X, Y)$.