Fundamentos Esenciales de Electricidad: Leyes de Kirchhoff y Ley de Gauss

Leyes de Kirchhoff para Circuitos de Corriente Continua

Primera Ley de Kirchhoff: Ley de Nodos (Conservación de la Carga)

La suma de las corrientes entrantes en cualquier punto de unión (nodo) debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de dicho punto. Esta es una regla de conservación de la carga.

Segunda Ley de Kirchhoff: Ley de Mallas (Conservación de la Energía)

La suma de las diferencias de potencial en los bornes de cada elemento a lo largo de cualquier malla cerrada del circuito debe ser igual a cero. Esto es equivalente a la ley de conservación de la energía.

La energía (E) del circuito puede disminuir por la caída de potencial (-IR) cuando la carga se mueve a través de una resistencia o como resultado de mover la carga en dirección inversa a la fuente de alimentación.

Convenciones de Signos para las Leyes de Kirchhoff

• Si se atraviesa una resistencia (R) en la dirección de la corriente, la diferencia de potencial es -IR. Si se atraviesa en dirección opuesta a la corriente, la diferencia de potencial es +IR.
• Si se atraviesa una fuente de alimentación en la dirección de la fuerza electromotriz (FEM), es decir, del terminal negativo (-) al positivo (+), la diferencia de potencial es +ε. Si se atraviesa en dirección opuesta (del terminal + al -), la diferencia de potencial es -ε.

El número de ecuaciones independientes debe ser igual al número de corrientes desconocidas para resolver el circuito.

Pasos para la Resolución de Circuitos con las Leyes de Kirchhoff

1. Asignar direcciones arbitrarias a las corrientes en cada rama del circuito.
2. Aplicar la Ley de Nodos a (N-1) nodos independientes, donde N es el número total de nodos.
3. Aplicar la Ley de Mallas a todas las mallas independientes del circuito. Esto, en combinación con las ecuaciones de nodos, debe proporcionar un número de ecuaciones igual al número de incógnitas (corrientes).
4. Resolver el sistema de ecuaciones resultante para encontrar los valores de las corrientes desconocidas.

Aplicación de la Ley de Gauss al Flujo Eléctrico

Escenario 1: Cargas Puntuales en una Superficie Gaussiana Esférica

Una superficie gaussiana de forma esférica de radio R >> d encierra dos cargas puntuales iguales a +2 C, separadas una distancia d.

a) Determinar el flujo de campo eléctrico (CE) que la atraviesa y explicar si es necesario conocer la posición de las cargas dentro de la superficie esférica.

El flujo eléctrico (Φ_E) se calcula mediante la Ley de Gauss: Φ_E = Q_encerrada / ε₀. En este caso, la carga neta encerrada es la suma de las dos cargas puntuales. No es preciso conocer la posición de las cargas, sino solo si están dentro de nuestra superficie gaussiana, ya que la Ley de Gauss solo depende de la carga neta encerrada.

b) ¿El campo eléctrico (CE) que crean en la superficie tiene la misma intensidad en todos sus puntos? ¿Se debe conocer la posición exacta de las cargas?

No. La única posibilidad de que tengamos la misma intensidad en todos los puntos de una superficie esférica es que solo haya una carga puntual justo en el centro de dicha esfera. Dado que hay dos cargas separadas por una distancia d, la distribución del campo eléctrico en la superficie gaussiana no será uniforme. No es necesario conocer la posición exacta de las cargas para calcular el flujo total, pero sí para determinar la intensidad del campo eléctrico en cada punto, ya que no hay simetría esférica del campo si las cargas no están en el centro.

Escenario 2: Cargas Puntuales Encerradas en una Esfera Conductora

Si las cargas se encierran en una esfera conductora de R >> d.

a) Determinar el flujo de campo eléctrico (CE) que la atraviesa y explicar si es necesario conocer la posición de las cargas dentro de la superficie esférica.

Al ser una esfera conductora, las cargas inducidas en la superficie exterior se redistribuyen de manera uniforme debido a la simetría esférica. El flujo eléctrico (Φ_E) sigue siendo Φ_E = Q_encerrada / ε₀. No es preciso conocer la posición de las cargas internas para calcular el flujo total, ya que la Ley de Gauss solo depende de la carga neta encerrada. Sin embargo, la distribución de carga en la superficie exterior sí será uniforme debido a la simetría de la esfera conductora.

b) ¿El campo eléctrico (CE) que crean en la superficie exterior tiene la misma intensidad en todos sus puntos? ¿Y en el interior? ¿Se debe conocer la posición exacta de las cargas?

Sí, en la superficie exterior, el campo eléctrico tendrá la misma intensidad en todos sus puntos debido a la distribución uniforme de la carga en la superficie de la esfera conductora. En el interior del conductor (entre las cargas y la superficie interna de la esfera), el campo eléctrico es cero en equilibrio electrostático. Por la misma razón que en el apartado (a), no es necesario conocer la posición exacta de las cargas internas para el cálculo del flujo total, pero sí para entender la distribución de carga inducida y el campo en el interior (que es cero).

En el interior del conductor, el campo eléctrico es cero, lo que implica que el flujo neto a través de cualquier superficie gaussiana dentro del material conductor es cero. Fuera de la esfera conductora, el campo eléctrico es radial y uniforme en magnitud sobre una superficie esférica concéntrica, como si toda la carga estuviera en el centro.