Fundamentos Esenciales de Ecuaciones Diferenciales y Modelado Matemático

Conceptos Fundamentales de Ecuaciones Diferenciales

Definiciones Clave

Ecuación diferencial: Es una igualdad que contiene derivadas de una función desconocida con respecto a una o más variables independientes.

Ecuación diferencial ordinaria (EDO): Ecuación diferencial que contiene una o más derivadas de una función desconocida con respecto a una sola variable.

Ecuación en derivadas parciales (EDP): Ecuación diferencial que posee una o más derivadas de una función desconocida con respecto a dos o más variables.

Tipos de Soluciones de Ecuaciones Diferenciales

Solución de una ecuación diferencial: Se puede definir como toda función que satisface la ecuación, es decir, que al sustituirla la reduce a una identidad.

• Solución Explícita: Una solución explícita es aquella que se puede escribir de la forma y = f(x), es decir, que la solución esté expresada solo en función de la variable independiente y constantes.
• Solución Implícita: Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita.
• Solución Trivial: Aquella que tiene la forma y = 0.
• Solución Particular: Es aquella solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios.
• Solución Singular: Es aquella que no se puede obtener a partir de la solución general de la ecuación diferencial.
• Solución General: Es aquella que satisface una ecuación diferencial y, además, involucra en su estructura una o más constantes arbitrarias.

Linealidad de una Ecuación Diferencial

¿Cuándo es lineal?

1. La función desconocida y sus derivadas son, a lo sumo, de primer grado, es decir, de potencia 1.
2. Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen solo de la variable independiente.

Problemas de Valor Inicial (PVI)

Es toda ecuación diferencial que se encuentre acompañada por unas condiciones iniciales.

Teorema de Existencia y Unicidad

Sea R una región rectangular en el plano xy, definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x₀, y₀) en su interior.

Modelos Matemáticos

Un modelo matemático es una descripción matemática de un sistema o fenómeno físico, sociológico, económico, entre otros, que ocurre en la vida real.

Formulación de un Modelo Matemático

Para la formulación de un modelo matemático es necesario:

1. Identificar las variables que afectan al sistema, es decir, las que producen cambios en este.
2. Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que se trata de describir. Las hipótesis del problema implican, con frecuencia, la razón o tasa de cambio de las variables involucradas.

Luego de formulado el modelo matemático, es necesario resolverlo, es decir, hallar una solución a la ecuación diferencial o al sistema de ecuaciones diferenciales, lo cual no es nada fácil.