Fundamentos Esenciales del Cálculo Diferencial e Integral: Conceptos Clave y Aplicaciones

Cálculo Integral y Convergencia

Integrales Impropias: Criterio de Convergencia

Una integral impropia $\int_a^\infty f(x) dx$ converge si existe el límite finito de la integral definida, es decir:

$$\lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx$$

Se aplica la Regla de Barrow (sustitución) y se evalúa el resultado en el límite. Si el resultado es un número finito, la integral converge; de lo contrario, diverge.

Cálculo de Área entre Funciones

Para calcular el Área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, primero se igualan para encontrar los puntos de intersección. El área total es la suma de las integrales de los valores absolutos de la diferencia de las funciones en cada intervalo:

$$\text{Área} = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$

Si al calcular la integral en un subintervalo el resultado es negativo, se debe tomar su valor absoluto (o restar la función inferior de la superior) para que el área sea positiva.

Geometría de Funciones y Dominio

Concavidad y Convexidad

• Una función es Cóncava (hacia abajo) si la segunda derivada $f''(x)$ es negativa en ese intervalo ($f''(x) < 0$).
• Una función es Convexa (hacia arriba) si la segunda derivada $f''(x)$ es positiva en ese intervalo ($f''(x) > 0$).

Determinación del Dominio

Para el Dominio de una función:

• Funciones Racionales: El dominio son todos los números reales excepto aquellos valores que anulen el denominador.
• Funciones Radicales (Índice Par): El radicando debe ser mayor o igual a cero ($g(x) \ge 0$). Si la función es una fracción con la raíz en el denominador, el radicando debe ser estrictamente mayor que cero ($g(x) > 0$).

Cálculo Diferencial: Teoremas y Aplicaciones

Teorema del Valor Medio (TVM)

El Teorema del Valor Medio establece que si una función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$, entonces existe al menos un punto $c$ en $(a, b)$ tal que:

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Para encontrar el valor de $c$, se iguala la derivada de la función (sustituyendo $x$ por $c$) a la pendiente de la recta secante.

Ecuación de la Recta Tangente

La ecuación de la Recta Tangente en un punto $(x_0, y_0)$ es $y = mx + n$, donde $m$ es la pendiente.

1. Se calcula $y_0$: Se sustituye $x_0$ en la función original $f(x)$. Esto da el valor de $y$ en el punto de tangencia.
2. Se calcula la pendiente $m$: Se halla la derivada $f'(x)$ y se sustituye $x_0$ en ella. $m = f'(x_0)$.
3. Se calcula $n$: Se sustituyen $x_0, y_0$ y $m$ en la ecuación $y_0 = m x_0 + n$ para despejar $n$.

Estudio Completo de Funciones

Intersecciones y Asíntotas

• Intersección con el eje Y: Se sustituye $x=0$ en la función, $f(0)$.
• Intersección con el eje X: Se iguala $f(x)=0$. (Nota: Para funciones exponenciales del tipo $e^{g(x)}$, la función nunca corta el eje X, ya que $e^{g(x)} > 0$).

Tipos de Asíntotas

• Asíntota Vertical (AV): Ocurre en los valores de $x$ que anulan el denominador (fuera del dominio). Se verifica si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$.
• Asíntota Horizontal (AH): Se calcula el límite cuando $x$ tiende a infinito. Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ (donde $L$ es un número finito), existe una AH en $y=L$. Esto ocurre si el grado del polinomio del denominador es mayor o igual al grado del numerador.
• Asíntota Oblicua (AO): Existe si el grado del numerador es exactamente uno más que el grado del denominador.

Crecimiento, Decrecimiento y Extremos

Para determinar el Crecimiento, Decrecimiento, máximos y mínimos:

1. Se calcula la primera derivada $f'(x)$ y se iguala a cero para encontrar los puntos críticos.
2. Se estudia el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos.
3. Si $f'(x) > 0$, la función crece. Si $f'(x) < 0$, la función decrece.
4. Para obtener la coordenada $y$ de un máximo o mínimo, se sustituye el valor $x$ del punto crítico en la función original $f(x)$.

Puntos de Inflexión

Para la Concavidad y Convexidad, y los puntos de inflexión:

1. Se calcula la segunda derivada $f''(x)$ y se iguala a cero.
2. Se estudia el signo de $f''(x)$. Un Punto de Inflexión ocurre donde la función cambia de concavidad a convexidad (o viceversa).
3. Para obtener la coordenada $y$ del punto de inflexión, se sustituye el valor $x$ en la función original $f(x)$.
4. Importante: No hay punto de inflexión en un punto donde la función no esté definida.

Técnicas Avanzadas de Integración y Series

Integrales por Partes

Fórmulas comunes de integración por partes (aplicando $\int u dv = uv - \int v du$):

• $$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$$
• $$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$$

Descomposición en Fracciones Simples

Para la Integral por Descomposición de Fracciones (cuando el denominador tiene raíces reales):

• Si hay raíces simples ($x_1, x_2$): Se descompone como $\frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2}$.
• Si hay una raíz doble (ej. $(x-x_1)^2$): Se descompone como $\frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{(x-x_1)^2}$.

Se realiza el mínimo común múltiplo, se iguala el numerador resultante al numerador original, y se sustituyen valores de $x$ (las raíces) para encontrar las constantes $A, B, \dots$

Serie de Taylor

Para calcular la Serie de Taylor de grado $n$ centrada en $a$ (ej. $P_{4, 0}$ indica grado 4, centrado en $a=0$):

1. Se calculan las derivadas sucesivas de la función hasta el grado $n$.
2. Se evalúan todas las derivadas (incluida la función original) en el punto $a$.
3. Se aplica la fórmula general:

$$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

H6. Recordatorio de Derivadas

Derivada de una Potencia Negativa

La derivada de $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ es:

$$f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$