Fundamentos Esenciales del Cálculo Diferencial: Elasticidad, Teoremas y Extremos de Funciones

Conceptos Fundamentales del Cálculo Diferencial

Definición de Elasticidad de una Función

Consideremos una función $f: A \to \mathbb{R}$ derivable y no nula en un punto interior $x_0 \in A$. Se define la elasticidad de $f$ en el punto $x_0$ como la expresión:

$e_f(x_0) = \left( \frac{x_0}{f(x_0)} \right) \cdot f'(x_0)$

Teoremas Clave en Derivabilidad

Teorema de Rolle

Sea $f(x)$ una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$.
2. $f(x)$ es derivable en el intervalo abierto $(a,b)$.
3. $f(a) = f(b)$.

Entonces, existe al menos un número $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = 0$.

Demostración del Teorema de Rolle (Casos)

Caso 1: La función es constante

Si $f(x) = \text{cte}$, entonces $f'(x)=0$ para todo $x \in (a,b)$. Cualquier $c \in (a,b)$ cumple la condición.

Caso 2: Existe un máximo global en el interior

Existe un $x$ tal que $f(x) > f(a)$. Dado que por hipótesis $f(x)$ es continua en $[a,b]$, $f(x)$ tiene un valor máximo en $[a,b]$ (por el Teorema de Weierstrass o Teorema del Valor Extremo). Dado que $f(a)=f(b)$, el máximo debe alcanzarse en algún $c \in (a,b)$. Es decir, en $c$ se alcanza un máximo local (pues está en el interior de $[a,b]$).

Como $f(x)$ es derivable en $(a,b)$ (Hipótesis 2), podemos aplicar el Teorema de Fermat, lo que implica que $f'(c) = 0$.

Caso 3: Existe un mínimo global en el interior

Existe un $x$ tal que $f(x) < f(a)$. Dado que por hipótesis $f(x)$ es continua en $[a,b]$, $f(x)$ tiene un valor mínimo en $[a,b]$ (por el Teorema de Weierstrass). Dado que $f(a)=f(b)$, el mínimo debe alcanzarse en algún $c \in (a,b)$. Es decir, en $c$ se alcanza un mínimo local (pues está en el interior de $[a,b]$).

Como $f(x)$ es derivable en $(a,b)$ (Hipótesis 2), podemos aplicar el Teorema de Fermat, lo que implica que $f'(c) = 0$.

La Diferencial de una Función

Dada una función derivable $f : A \to \mathbb{R}$ en un punto interior $x_0 \in A$, se llama diferencial de la función $f$ en el punto $x_0$ correspondiente a un incremento $\Delta x = dx = (x-x_0)$ en la variable independiente a la expresión:

$df (x_0 ) = f' (x_0) \cdot \Delta x \equiv f'(x_0) \cdot dx$

Extremos de Funciones y Puntos Críticos

Definición de Extremos Absolutos

• Una función $f(x)$ tiene un máximo absoluto en $x=c$ si $f(c) \ge f(x)$ para todo $x$ perteneciente al dominio de $f(x)$. El número $f(c)$ se llama valor máximo absoluto de $f(x)$ en su dominio.
• Análogamente, $f(x)$ tiene un mínimo absoluto en $x=d$ si $f(d) \le f(x)$ para todo $x$ perteneciente al dominio de $f(x)$. El número $f(d)$ se llama valor mínimo absoluto de $f(x)$ en su dominio.

A los valores máximos y mínimos de $f(x)$ se les llama valores extremos.

Definición de Extremos Locales o Relativos

• Una función $f(x)$ posee un máximo local o relativo en $x=c$ si $f(c) \ge f(x)$ cuando $x$ está cercano a $c$ (esto significa que $f(c) \ge f(x)$ para todo $x$ en algún intervalo abierto que contenga a $c$). El número $f(c)$ se llama máximo relativo de $f(x)$ en su dominio.
• De manera análoga, $f(x)$ posee un mínimo local o relativo en $x=d$ si $f(d) \le f(x)$ cuando $x$ está cercano a $d$. El número $f(d)$ se llama mínimo relativo de $f(x)$ en su dominio.

Definición de Punto Crítico

Un punto crítico de una función $f(x)$ es un número $c$ perteneciente al dominio de $f(x)$ tal que $f'(c) = 0$ o $f'(c)$ no exista.

Teorema de la Función Constante

Teorema

Si $f'(x) = 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f(x)$ es constante en $(a,b)$.

Demostración

Sean $x_1$ y $x_2$ dos números cualesquiera en $(a,b)$ tal que $x_1 < x_2$.

Como $f(x)$ es derivable en $(a,b)$, entonces es continua en $(a,b)$ y, por lo tanto, es continua en el intervalo cerrado $[x_1, x_2]$, ya que $a < x_1 < x_2 < b$.

Como $f(x)$ es derivable en $(a,b)$, lo es también en $(x_1, x_2)$.

Así, $f(x)$ satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio (TVM) en $[x_1, x_2]$. Entonces, existe un $c \in (x_1, x_2)$ tal que:

$f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Pero por hipótesis $f'(c)=0$. Sustituyendo, tenemos:

$0 = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Esto implica que $f(x_2) - f(x_1) = 0$, por lo tanto, $f(x_2) = f(x_1)$. Dado que $x_1$ y $x_2$ son arbitrarios, $f(x)$ es constante en $(a,b)$.