Fundamentos Esenciales del Cálculo: Continuidad, Teoremas y Métodos de Integración

Conceptos Fundamentales de Continuidad y Discontinuidad

Continuidad de una Función

Dada una función $f(x)$ definida en un entorno de $x_0$, $E(x_0)$, se dice que la función es continua en $x_0$ si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La función tiene límite en $x_0$.
2. Dicho límite es igual al valor de la función en $x_0$, $f(x_0)$.

Tipos de Discontinuidad

Una discontinuidad de $f(x)$ es todo $x \in \mathbb{R}$ en el que $f$ no es continua. Las clasificamos en diferentes tipos:

1. Discontinuidades Evitables

Diremos que $f(x)$ tiene una discontinuidad evitable en $x_0$ si existe el límite de $f(x)$ en $x_0$ pero no coincide con el valor de la función $f(x_0)$ en dicho punto (bien porque difieren, bien porque este último no exista). La discontinuidad se puede "evitar" redefiniendo la función:

$$f(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq x_0 \\ \lim_{x \to x_0} f(x) & \text{si } x = x_0 \end{cases}$$

2. Discontinuidades de Primera Especie o de Salto

Se dice que una función tiene una discontinuidad de primera especie o de salto en $x_0$ si existen los límites laterales de la función en ese punto pero no coinciden. Puede ser que sea continua por uno de los lados o no. El salto se denominará:

• Finito: Si ambos límites laterales son finitos.
• Infinito: En caso contrario.

3. Discontinuidades de Segunda Especie o Esenciales

Se dice que una función tiene una discontinuidad de segunda especie o esencial en $x_0$ si no existe alguno de los límites laterales de la función en ese punto.

Teoremas Fundamentales de Funciones Continuas

Teorema de Bolzano

Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y tal que tome valores de signo contrario en los extremos del mismo ($\text{Sign}(f(a)) \neq \text{Sign}(f(b))$), entonces existe algún punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Teorema de Darboux (Teorema de los Valores Intermedios)

Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces $f$ toma todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$.

Teorema de Acotación

Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces $f(x)$ está acotada en $[a, b]$.

Teorema de Weierstrass (Teorema del Valor Extremo)

Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces $f$ alcanza en $[a, b]$ su valor máximo y su valor mínimo, es decir, $\exists x_1, x_2 \in [a, b]$ tal que $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$, $\forall x \in [a, b]$.

Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial

Teorema de Rolle

Si la función $f(x)$ es continua en el intervalo $[a, b]$, es derivable en el intervalo $(a, b)$ y toma valores iguales en los extremos del intervalo ($f(a) = f(b)$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ en el cual la derivada de $f(x)$ se anula, es decir: $f'(c) = 0$.

Teorema de Lagrange (Teorema del Valor Medio o de los Incrementos Finitos)

Si $f(x)$ es una función continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces existe por lo menos un punto $c \in (a, b)$ tal que:

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

Cálculo Integral y Métodos Numéricos

Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

Si $f(x)$ es una función continua en el intervalo $[a, b]$, entonces existe en $[a, b]$ al menos un punto $c$ tal que se verifica:

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = (b - a) f(c)$$

Nota: Al número real $f_{\text{prom}} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$, se le llama valor medio o valor promedio de $f(x)$ en $[a, b]$.

Teorema Fundamental del Cálculo

Sea $f(x)$ una función continua en el intervalo $[a, b]$, entonces la función $F(x)$ definida de la forma:

$$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$$

en el intervalo $[a, b]$ es derivable en $(a, b)$ y además $F'(x) = f(x)$.

Nota: Si $f(x)$ es integrable pero no continua en $[a, b]$, entonces solo podemos asegurar que $F(x)$ es continua en $[a, b]$, pero la derivabilidad de $F(x)$ solo está garantizada en los puntos de continuidad de $f(x)$. La función $F(x)$ tiene un significado geométrico evidente, dado que nos proporciona el área determinada por la gráfica de $f(x)$ entre el punto inicial $a$ y un punto concreto $x$ del intervalo $[a, b]$.

Regla de Barrow

Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y $G(x)$ es una primitiva de $f(x)$ en $[a, b]$, entonces se verifica:

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = G(x) \Big|_a^b = G(b) - G(a)$$

Métodos de Aproximación

Método de Newton-Raphson

Consiste simplemente en aproximar la función $f(x)$, en las cercanías de uno de sus ceros, $r$, por la recta tangente a la curva $y = f(x)$. Para ello supondremos que la función $f(x)$ es continua y derivable en un entorno de $r$. La fórmula iterativa es:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Límites y Comparación de Funciones

Infinitésimo

Sea $f(x)$ una función definida (al menos) en un entorno reducido de $x_0 \in \mathbb{R}$. Diremos que $f(x)$ es un infinitésimo en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$.

Infinito

Sea $f(x)$ una función definida (al menos) en un entorno reducido de $x_0 \in \mathbb{R}$. Diremos que $f(x)$ es un infinito en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ (o $-\infty$).

Comparación de Infinitésimos

Dos infinitésimos $f(x)$ y $g(x)$ en $x_0$ se denominan comparables si existe el límite $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$.

Dados dos infinitésimos comparables:

• Del mismo orden: Si se verifica $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \in \mathbb{R} - \{0\}$.
• De mayor orden: Si $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$.
• Equivalentes: Si $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$.