Fundamentos Esenciales de Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales

Fundamentos de Álgebra Lineal

Teorema de Rouché-Frobenius (Existencia y Unicidad de Soluciones)

Si se considera el sistema A x = b y (A|b) es su matriz ampliada, entonces:

• 1. ρ(A|b) > ρ(A) ⇔ el sistema es incompatible.
• 2. ρ(A|b) = ρ(A) ⇔ el sistema es compatible.
  • Si además, ρ(A) = n = número de incógnitas ⇒ el sistema tiene solución única.
  • Si ρ(A) < n = número de incógnitas ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones, que se pueden escribir en función de n − ρ(A) parámetros.

Dependencia e Independencia Lineal de Vectores

Sea E un espacio vectorial sobre K y sea A un subconjunto no vacío de vectores de E.

Definición de Dependencia Lineal (LD)

Diremos que A es linealmente dependiente (LD) si existen vectores x₁, x₂, ..., x_k ∈ A (distintos) y existen escalares α₁, α₂, ..., α_k ∈ K no todos nulos tales que:

α₁x₁ + α₂x₂ + ··· + α_kx_k = 0

Esto significa que al menos un vector del conjunto {x₁, x₂, ..., x_k} puede ser expresado como combinación lineal de los otros. Veamos esta afirmación con más detalle. Supongamos que α_i ≠ 0, entonces:

-α_ix_i = α₁x₁ + ... + α_i-1x_i-1 + α_i+1x_i+1 + ... + α_kx_k

Si α_i ≠ 0, entonces:

x_i = -( α₁/α_i )x₁ - ... - ( α_i-1/α_i )x_i-1 - ( α_i+1/α_i )x_i+1 - ... - ( α_k/α_i )x_k

Observemos que si A es LD, el vector nulo puede expresarse de diferentes formas como combinación lineal de ciertos elementos de A.

Definición de Independencia Lineal (LI)

Diremos que A es linealmente independiente (LI) si no es LD, es decir, si siempre que encontremos α₁x₁ + α₂x₂ + ··· + α_kx_k = 0 con α₁, ..., α_k ∈ K y x₁, ..., x_k ∈ A (distintos), entonces NECESARIAMENTE:

α₁ = 0, α₂ = 0, ..., α_k = 0.

Ahora observamos que existe una única forma de expresar el vector nulo como una combinación lineal finita de elementos de A.

Teorema de Existencia de Base

Sea E un espacio vectorial sobre K no nulo finitamente generado. Si A = {x₁, ..., x_n} es un sistema generador de E, entonces ∃ B &subseteq; A tal que B es base de E.

Aplicaciones Lineales

Sean E y F dos espacios vectoriales sobre K y sea T : E → F una aplicación.

Definición de Aplicación Lineal

Diremos que T es una aplicación lineal si verifica:

• (a) T(u + v) = T(u) + T(v), ∀u, v ∈ E.
• (b) T(αu) = αT(u), ∀α ∈ K, ∀u ∈ E.

Núcleo de una Aplicación Lineal

Se llama núcleo de T al conjunto de vectores de E que tienen imagen nula:

N(T) = { x ∈ E : T(x) = 0 }.

Imagen de una Aplicación Lineal

Se llama imagen de T al conjunto de vectores de F que son imagen mediante T de algún vector de E:

Im(T) = { y ∈ F : ∃x ∈ E tal que T(x) = y } o, equivalentemente,

Im(T) = T(E) = { T(x) : x ∈ E }

Teorema de las Dimensiones

Si T : E → F es una aplicación lineal y E y F son espacios vectoriales sobre K de dimensión finita, entonces:

dim_K E = dim_K N(T) + dim_K Im(T).

Polinomio Característico y Valores Propios

Llamaremos polinomio característico de A, y lo denotaremos por d_A(λ), al polinomio en λ que se obtiene al calcular el determinante de la matriz:

d_A(λ) = det(A − λI_n×n)

Si A es una matriz n × n con entradas en K, entonces d_A(λ) es un polinomio de grado n con coeficientes en K cuyo coeficiente director es (−1)ⁿ. Por tanto, los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico que pertenezcan a K.

Propiedades de Matrices Hermíticas

Sea A ∈ M_n×n(C). Si A es una matriz hermítica, entonces:

• (i) Todos los valores propios de A son reales.
• (ii) Los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales.
• (iii) Existe una base ortonormal de Cⁿ formada por vectores propios de A, o equivalentemente, A es diagonalizable en C con respecto a una base ortonormal.

Propiedades de Matrices Simétricas

Sea A ∈ M_n×n(R). Si A es una matriz simétrica, entonces:

• (i) A tiene n valores propios (no necesariamente distintos).
• (ii) Los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales.
• (iii) Existe una base ortonormal de Rⁿ formada por vectores propios de A, o equivalentemente, A es diagonalizable en R con respecto a una base ortonormal.

Ecuaciones Diferenciales

Teorema de Existencia y Unicidad para Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Si x₀ ∈ I, y₀ ∈ Rⁿ y A ∈ M_n×n(C), entonces el sistema de ecuaciones diferenciales y' = Ay tiene una única solución que cumple las condiciones iniciales y(x₀) = y₀.

En primer lugar, estudiaremos muy brevemente la estructura algebraica del conjunto de soluciones y, a continuación, aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes.