Fundamentos Esenciales de Álgebra Lineal: Conceptos Clave y Fórmulas

Primer Bloque Temático: Sistemas de Ecuaciones y Rango

Concepto de Rango de una Matriz

• El Rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes.
• Es equivalente al número de pivotes obtenidos en la forma escalonada (método de Gauss).

Métodos de Resolución

• Para escalonar y reducir una matriz se utiliza el método de Gauss-Jordan.

Inversa de una Matriz

• Si el determinante (det) de una matriz es igual a cero, la matriz no tiene inversa.

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL)

Para resolver un SEL mediante Gauss-Jordan, se construye la matriz aumentada, separando los coeficientes de las variables de los términos independientes (lo que va después del signo igual) con una línea punteada.

Una vez escalonada la matriz:

• Se despejan las variables asociadas a los pivotes.
• Si existen variables libres (columnas sin pivote, o filas de ceros en la parte de coeficientes), se les asigna un valor arbitrario (parámetro).

Segundo Bloque Temático: Vectores y Subespacios

Cálculo de Ángulos Internos en un Triángulo

Para calcular los ángulos internos de un triángulo definido por los vértices A, B y C, se deben usar los vectores que parten desde el vértice en cuestión.

Ejemplo de Cálculo Vectorial

El vector que va de A a B se calcula como la diferencia de coordenadas:

$$ \vec{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) $$

Producto Punto y Magnitud

El producto punto entre dos vectores, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, se calcula como la suma de los productos de sus componentes:

$$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 $$

Para hallar el ángulo $\theta$ entre ellos, se utiliza la fórmula que involucra las magnitudes (normas) de $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

Valores Notables del Coseno Inverso

Recordatorio de valores comunes para el arco coseno ($\cos^{-1}$):

• $\cos^{-1}(1) = 0^\circ$
• $\cos^{-1}(\sqrt{3}/2) = 30^\circ$
• $\cos^{-1}(1/2) = 60^\circ$
• $\cos^{-1}(0) = 90^\circ$
• $\cos^{-1}(-1/2) = 120^\circ$
• $\cos^{-1}(-\sqrt{3}/2) = 150^\circ$
• $\cos^{-1}(-1) = 180^\circ$

Criterios para Subespacios Vectoriales

Un subconjunto $W$ de un espacio vectorial $V$ es un subespacio vectorial si cumple dos condiciones (cerradura):

1. Cerradura bajo la suma: Si $u, v \in W$, entonces $u + v \in W$.
2. Cerradura bajo la multiplicación escalar: Si $c$ es un escalar y $v \in W$, entonces $c \cdot v \in W$.

Tercer Bloque Temático: Transformaciones Lineales y Diagonalización

Combinaciones Lineales y Condiciones de Pertenencia

Para determinar si un vector $(a, b, c, d)$ pertenece al espacio generado por un conjunto de vectores, se plantea la combinación lineal:

$$ (a,b,c,d) = x(1,2,3,4) + y(5,6,7,8) + z(9,10,11,12) $$

Esto genera un sistema de ecuaciones lineales. Se construye la matriz aumentada. Las filas de ceros resultantes en la parte de coeficientes (después de escalonar) imponen las condiciones que deben cumplir $a, b, c, d$ para que el vector pertenezca al espacio generado.

Propiedades de Transformaciones Lineales

Ejemplo de justificación de una transformación $T: M_{3\times 3}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ definida por $T(A) = |A|$ (el determinante de A). Se debe usar ejemplos de matrices para demostrar si cumple las propiedades de linealidad (suma y multiplicación escalar).

Núcleo (Kernel) e Imagen de una Transformación Lineal

Dada una transformación $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ representada por una matriz $M$:

Cálculo del Núcleo ($\text{Nuc}(T)$ o $\text{Ker}(T)$)

1. Se resuelve el sistema homogéneo $M\mathbf{x} = \mathbf{0}$ (la matriz igualada al vector cero).
2. Se escalona la matriz.
3. Las variables libres determinan los vectores solución del núcleo.
4. La dimensión del núcleo (nulidad) es igual al número de variables libres.
5. La base del núcleo se obtiene expresando el vector solución como combinación lineal de los vectores asociados a las variables libres.

Cálculo de la Imagen ($\text{Im}(T)$)

• La base de la imagen son las columnas de la matriz original $M$ que contienen pivotes después de la escalonación.
• La dimensión de la imagen (rango) es igual al número de columnas con pivote.

Diagonalización de Matrices

Para determinar si una matriz $A$ es diagonalizable, se siguen los siguientes pasos:

1. Valores Propios ($\lambda$): Se calculan resolviendo la ecuación característica: $\det(A - \lambda I) = 0$.
2. Vectores Propios ($\mathbf{v}$): Para cada valor propio $\lambda$, se halla el espacio propio resolviendo el sistema homogéneo $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$.

Criterio de Diagonalización

• Una matriz $M_{n\times n}$ es diagonalizable si y solo si posee $n$ vectores propios linealmente independientes.
• Una matriz debe ser cuadrada para ser diagonalizable.

Construcción de la Matriz Diagonal $D$

Si la matriz es diagonalizable, se construye:

1. La matriz $P$, cuyas columnas son los vectores propios ($\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots$).
2. La matriz inversa $P^{-1}$.
3. La matriz diagonal $D$ se obtiene mediante la relación: $D = P^{-1} A P$. (Donde $D$ es una matriz diagonal con los valores propios en la diagonal principal).

Operaciones Básicas con Matrices

• Suma de Matrices: Solo se suman las posiciones correspondientes.
• Multiplicación de Matrices: Se realiza sumando el producto de las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda.

Fórmulas Fundamentales de Álgebra Lineal

Matrices Especiales

• Matriz Identidad ($I$):
• Matriz Transpuesta ($A^T$):
• Matriz Simétrica: Una matriz $A$ es simétrica si es igual a su transpuesta ($A = A^T$).

Cálculo de la Inversa

La matriz inversa $A^{-1}$ se calcula mediante el método de Gauss-Jordan, aplicando operaciones elementales a la matriz aumentada $[A | I]$.

$$ A^{-1} = [A | I] \xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}} [I | A^{-1}] $$

Condición de Existencia: La inversa existe si y solo si el determinante de $A$ es diferente de cero ($\det(A) \neq 0$).

Vectores y Ortogonalidad

Producto Punto (Producto Escalar)

El producto punto de dos vectores ortogonales es cero: $\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 0$.

Ejemplo de vector ortogonal: Si $x(1) + y(2) = 0$, entonces $x = -2y$. Un vector solución es $(-2, 1)$.

Magnitud (Norma) de un Vector

La magnitud de un vector $\mathbf{v}$ se calcula como:

Fórmula relacionada con la magnitud (posiblemente error en la nota original, se mantiene la estructura):

Nota: La expresión $a-b = \sqrt{a+b+2ab}$ parece incorrecta o incompleta en el contexto estándar de magnitudes vectoriales, pero se mantiene como nota original.