Fundamentos Esenciales de Álgebra: Factorización, Ecuaciones y Conjuntos

Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de sus factores

La expresión de un número como producto de sus factores primos se llama Descomposición en factores primos.

El mayor de los divisores comunes de dos o más números naturales se llama Máximo común divisor. Se designa con la expresión m.C.D.

Para calcular el factor común de un polinomio, se halla el máximo común divisor De los coeficientes y se multiplica por el máximo común divisor de la parte literal.

Para factorizar un polinomio por agrupación de términos, se aplica la propiedad Asociativa de la adición y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto A la adición. De esta manera, se hallan factores comunes a cada grupo de términos.

Factorizar una diferencia de cuadrados equivale al producto de la suma por la di‑ Ferencia de las raíces cuadradas de los términos. Es decir: x2 2 y2 5 (x 2 y)(x 1 y).

La factorización de la suma de cubos perfectos se expresa así: X3 1 y3 5 (x 1 y)(x2 2 xy 1 y2 )

La factorización de la diferencia de cubos perfectos se expresa así: X3 2 y3 5 (x 2 y)(x2 1 xy 1 y2 )

Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio al cuadrado, así: A2 2 ab 1 b2 5 (a 2 b) 2 A2 1 ab 1 b2 5 (a 1 b) 2

Los trinomios de la forma a2 6 mab 1 b2 , con m distinto de 2, satisfacen Parcialmente las carácterísticas de los trinomios cuadrados perfectos. El primer y tercer términos son cuadrados perfectos, pero el segundo término No es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Un trinomio de la forma x 2n 1 bx n 1 c, con n como un número entero, Es factorizable si existen dos números p y q que cumplen las condiciones P 1 q 5 b y pq 5 c. En este caso, el trinomio se expresa como el producto de Dos binomios con primer término x n Y como segundos términos los números P y q. Es decir: x 2n 1 bx n 1 c 5 (x n 1 p)(x n 1 q)

Un trinomio de la forma ax 2n 1 bx 2n 1 c, con un número entero n, se Factoriza transformándolo en un polinomio de la forma y 2n 1 by n 1 d.

Para factorizar un polinomio de la forma ax n 1 bxn 2 1 1 …. 1 tx 1 d, que Tiene al menos una raíz exacta, se puede aplicar la regla de Ruffini.

Las ecuaciones son igualdades algebraicas que, al sustituir las letras por Ciertos valores, se convierten en igualdades numéricas. Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las Incógnitas, de manera que al sustituirlos en la ecuación se satisface la igualdad.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Una ecuación de primer grado con una incógnita (también llamada Ecuación lineal) es una expresión de la forma ax 1 b 5 c, donde a, b y c son Números reales y el exponente de la incógnita x es 1

Cuando una ecuación tiene la incógnita en más de un término, se reducen térmi‑ Nos semejantes para llegar a resolver una ecuación de la forma general ax 1 b 5 c.

Para eliminar los denominadores de una ecuación, se multiplican los Dos miembros de esta por un múltiplo común de los denominadores. La Ecuación equivalente más sencilla se obtiene al multiplicar por el mínimo Común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas

El lenguaje algebraico permite expresar mediante símbolos matemáticos enun‑ Ciados de situaciones que se deben resolver en la vida diaria o en las ciencias

Una inecuación de primer grado con una incógnita es toda inecuación que Pueda escribirse de la forma ax 1 b , 0, con a y b como números reales y a Þ 0. Si el signo , se reemplaza por , . O $, la expresión resultante también se Denomina inecuación de primer grado con una incógnita.

Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Los objetos de la colección Se denominan elementos y se dice que estos pertenecen a dicho conjunto. Usualmente, los conjuntos se simbolizan mediante letras mayúsculas (como A, B, C…) y los elementos se denotan por medio de letras minúsculas (como a, b, c…).

Un conjunto se determina de dos maneras: por extensión y por comprensión