Fundamentos de la Electrostática y Magnetismo: Ley de Coulomb y Fuerza de Lorentz

La Ley de Coulomb y el Campo Eléctrico

La Ley de Coulomb representa la fuerza que experimentan dos cargas puntuales, $Q$ y $q$, separadas una distancia $r$, únicamente por el hecho de estar cargadas. Su expresión matemática es fundamental en la electrostática.

La fuerza eléctrica puede ser:

• Atractiva, si las cargas son de diferente signo.
• Repulsiva, si ambas son de igual signo.

Asimismo, estas fuerzas verifican el principio de acción y reacción, ya que ambas partículas cargadas generan fuerzas iguales y opuestas.

A continuación, se presentan dos ejemplos conceptuales:

1. El primero corresponde a dos cargas de igual signo (fuerza repulsiva).
2. El segundo a dos cargas de signo contrario (fuerza atractiva).

Concepto de Campo Eléctrico

Se dice que en un punto existe un campo eléctrico si en ese punto colocamos una carga eléctrica y dicha carga experimenta una fuerza eléctrica.

La intensidad del campo eléctrico ($\vec{E}$) se puede definir como la fuerza que se experimenta por unidad de carga:

$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$$

Por tanto, la intensidad del campo eléctrico es un vector y se mide en $\text{N/C}$. Otra expresión de la intensidad del campo eléctrico se puede obtener desde el punto de vista de la carga que crea dicho campo, y su expresión es:

$$\vec{E} = k \frac{Q}{r^2} \hat{r}$$

La intensidad del campo eléctrico es, por tanto, una perturbación que afecta a todo el espacio y que decrece con el cuadrado de la distancia.

Campo Eléctrico de una Carga Puntual

Para el caso concreto de una carga puntual o esférica, el campo eléctrico es radial y su sentido depende del signo de la carga, tal y como se representa gráficamente:

En donde las superficies equipotenciales (superficies que comparten el mismo potencial) son superficies esféricas concéntricas, mientras que las líneas de fuerza son radiales y perpendiculares a las superficies equipotenciales.

La Fuerza Magnética: Ecuación de Lorentz

La ecuación que determina cómo afecta un campo magnético a una carga se determina por la denominada Ecuación de Lorentz, la cual viene dada por la siguiente expresión:

$$\vec{F}_M = q \cdot (\vec{V} \times \vec{B})$$

Observando los términos que aparecen en la ecuación, solo tiene sentido evaluar los efectos de un campo magnético sobre una carga en movimiento, ya que si el cuerpo no está cargado y/o no está en movimiento, la fuerza magnética será nula ($\vec{F}_M = 0$).

a) Fuerza sobre una carga puntual en movimiento

Consideremos el caso donde la velocidad de la carga ($\vec{V}$) es perpendicular al campo ($\vec{B}$).

Si $\vec{V}$ y $\vec{B}$ son perpendiculares, la fuerza magnética ($\vec{F}_M$) también será perpendicular a dichos vectores, dado que la fuerza surge como resultado de un producto vectorial. Además, al ser constantes $q$, $\vec{V}$ y $\vec{B}$, la fuerza también lo será. Como dicha fuerza es perpendicular a la trayectoria, generará un cambio en la dirección de $\vec{V}$, pero no en su módulo.

Teniendo en cuenta que, como consecuencia del producto vectorial, dicha fuerza va a ser siempre perpendicular a la velocidad, se concluye que la carga realizará una trayectoria circular de velocidad constante.

Parámetros del Movimiento Circular

Uno de los parámetros que caracterizan este movimiento es el radio de la trayectoria circular ($r$). Para determinarlo basta con igualar la fuerza magnética con la fuerza centrípeta ($F_c = \frac{mv^2}{r}$):

$$qVB = \frac{mv^2}{r}$$

Despejando $r$, obtenemos el radio de la trayectoria:

$$r = \frac{mv}{qB}$$

Otro parámetro a determinar es el periodo de revolución ($T$), el cual es:

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$$

b) Fuerza sobre un conductor lineal con corriente eléctrica

Si se aplica la Ley de Lorentz para el caso de conductores eléctricos por los que circula una corriente $I$, se obtiene la siguiente expresión, que relaciona la fuerza magnética con la corriente:

$$\vec{F}_m = I \cdot (\vec{L} \times \vec{B})$$

En donde $\vec{L}$ es el vector de longitud del conductor orientado en el sentido de la corriente y $\vec{B}$ es el campo magnético externo.

Dicha expresión justifica el hecho de que un conductor por el que circula una corriente $I$ perpendicular a un campo magnético experimente una fuerza magnética, tal y como se representa gráficamente a continuación.

Este es el fundamento físico del motor eléctrico (una espira por la que circula una corriente eléctrica e introducida en el seno de un campo magnético; la espira comenzará a girar como consecuencia de las fuerzas magnéticas que experimenta).