Fundamentos de Ecuaciones y Sistemas Lineales: Conceptos Clave en Álgebra

Conceptos Fundamentales de Ecuaciones y Sistemas

¿Qué es una Ecuación?

Una ecuación es una igualdad entre números y variables, llamadas incógnitas, relacionadas por operaciones aritméticas.

Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, de forma que al sustituirlos en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta.

Resolver una ecuación es hallar sus soluciones.

Una ecuación que es cierta para cualquier valor de las incógnitas se llama identidad.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Reglas de Equivalencia de Ecuaciones

Las reglas de equivalencia permiten transformar una ecuación en otra equivalente sin alterar sus soluciones:

Regla de la Suma

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente.

Regla del Producto

Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un número o expresión algebraica distintos de 0, se obtiene otra ecuación equivalente.

Ecuaciones Polinómicas de Primer Grado

Una ecuación polinómica de primer grado es aquella que, tras simplificarse, se puede expresar con un polinomio de primer grado cuya variable es la incógnita.

Ecuaciones de Primer Grado con Paréntesis

Para eliminar los paréntesis se aplica la propiedad distributiva. Si delante de un paréntesis no hay coeficiente, se considera que este es 1.

Ecuaciones de Primer Grado con Denominadores

Para eliminar los denominadores de una ecuación, se multiplica la ecuación por un múltiplo de los denominadores. La ecuación equivalente más sencilla se obtiene multiplicando por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ecuaciones Polinómicas de Segundo Grado

Una ecuación polinómica de segundo grado es aquella que, tras simplificarse, se puede expresar con un polinomio de segundo grado cuya variable es la incógnita.

Las ecuaciones completas de segundo grado son de la forma:

ax^2 + bx + c = 0

Si falta alguno de los términos, se llaman incompletas:

• ax^2 + bx = 0
• ax^2 + c = 0
• ax^2 = 0

Si m y n son las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado, entonces la ecuación se puede escribir así:

x^2 - (m+n)x + mn = 0

Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas es de la forma ax + by = p, donde x e y son las incógnitas, y tienen infinitas soluciones.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales donde las incógnitas representan los mismos valores.

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de números que verifican las dos ecuaciones:

• Un sistema que tiene solución se llama compatible.
• Un sistema que no tiene solución se llama incompatible.

Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Las reglas de la equivalencia permiten pasar de un sistema a otro equivalente:

• Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta otro sistema equivalente.
• Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente.
• Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, se obtiene otro sistema equivalente.