Fundamentos de Ecuaciones e Inecuaciones Matemáticas y Métodos de Resolución

Inecuaciones y Desigualdades Algebraicas

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparece alguna incógnita en uno o en los dos miembros de la desigualdad.

Tipos de Inecuaciones

• Inecuación de primer grado (IN1GR): Es una inecuación que se puede transformar en otra equivalente de una de las formas: ax < b o ax > b.
• Inecuación de segundo grado (2GRA): Inecuación que se puede transformar en otra equivalente de una de las siguientes formas: ax² + bx + c < 0.
• Inecuación racional (racial1in): Inecuación que se puede transformar en otra equivalente como un cociente de polinomios de una de las siguientes formas: P(x)/Q(x) > 0 o P(x)/Q(x) < 0.
• Sistema de inecuaciones: Conjunto de 2 o más inecuaciones, todas ellas con la misma incógnita. La solución de un sistema de este tipo es el conjunto de números reales que verifican a la vez todas y cada una de las inecuaciones. Para hallarla, se resuelven por separado cada una de las inecuaciones, se representan gráficamente las soluciones y se buscan soluciones comunes.

Cómo resolver una inecuación

1. Operamos: En ambos miembros suprimiendo los paréntesis que contenga.
2. Eliminamos denominadores: Reduciendo previamente ambos miembros a común denominador positivo.
3. Transportar términos: Los términos que contengan la incógnita en un miembro y los términos independientes al otro.
4. Reducimos términos semejantes: En ambos miembros y llegamos a una inecuación de uno de los tipos siguientes (ax > b o ax < b).

Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones

Método de Reducción

1. Elegimos la incógnita: Seleccionamos la incógnita que queremos eliminar y multiplicamos cada ecuación por el número conveniente, para que los coeficientes de la incógnita que vamos a reducir sean opuestos.
2. Sumamos monomios: Sumamos los monomios y términos de las ecuaciones obtenidas, con lo que se elimina la incógnita elegida; obtenemos una ecuación de primer grado con una incógnita con la que hallamos el valor de la otra incógnita.
3. Sustitución: Obtenemos el valor de la incógnita reducida sustituyendo el valor de la incógnita calculada en una de las ecuaciones iniciales o aplicando el método de reducción otra vez.
4. Solución: La solución del sistema la forman los valores de ambas incógnitas.

Método de Sustitución (SUST)

1. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación, dando lugar a una ecuación de 1er grado con 1 incógnita que, al resolverla, nos permite hallar el valor de una de las incógnitas.
3. Se halla el valor de la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido anteriormente en la expresión primera.
4. La solución del sistema la forman los valores de ambas incógnitas.

Método de Igualación (IGUALA)

1. Se despeja cualquiera de las incógnitas en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones obtenidas, dando lugar a una ecuación de 1er grado con 1 incógnita que, al resolverla, nos permite hallar el valor de una de las incógnitas.
3. Se halla el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las expresiones.
4. La solución del sistema la forman los valores de ambas incógnitas.

Ecuaciones: Conceptos y Clasificación

Una ecuación (ECU) es una igualdad entre letras y números relacionados por las operaciones aritméticas. Las letras en este caso se denominan incógnitas.

Ecuaciones de Primer Grado (EC1)

Es una ecuación que, después de haber realizado las operaciones indicadas, tiene exponente 1. Las soluciones o raíces de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas tales que, al sustituirlos en la ecuación, hacen que la igualdad sea cierta.

Clasificación según sus soluciones (COMPA)

• Si la ecuación tiene soluciones y el número es finito, es compatible determinada.
• Si el número de soluciones es infinito, es compatible indeterminada.
• Si no tiene solución, es incompatible.

Número de soluciones (NºSOLUCI)

Se transforma la ecuación dada en una equivalente del tipo ax = b.

1. Si a ≠ 0, la ecuación ax = b tiene una única solución: x = b/a, luego es compatible determinada.
2. Si a = 0 y b = 0 (0x = 0), la ecuación tiene infinitas soluciones; se trata de una ecuación compatible indeterminada.
3. Si a = 0 y b ≠ 0 (0x = b), la ecuación es incompatible.

Sistemas de 2 Ecuaciones (SIST.2ECU)

Es un conjunto de 2 ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos valores. La solución (SOL) de un sistema de ecuaciones es un par de números que toman las incógnitas para las cuales se verifican a la vez ambas ecuaciones.

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