Fundamentos de la Divisibilidad y Sistemas Numéricos

Divisibilidad y Sistemas Numéricos

1. Conceptos Fundamentales de Divisibilidad

1.1. Definición de Divisor

Primera Definición de Divisor:

Dados dos números naturales a y b, decimos que a es un divisor de b si existe un número natural n tal que, al multiplicarlo por a, el resultado es b. Es decir, a · n = b.

Segunda Definición de Divisor:

Dados dos números naturales a (con a ≠ 0) y b, decimos que a es un divisor de b si al efectuar la división entera de b entre a, el resto obtenido es cero.

Estas dos definiciones son equivalentes cuando a ≠ 0. Si se cumple la primera (a · n = b), al dividir b entre a, el cociente será n y el resto cero. Recíprocamente, si se cumple la segunda (resto cero), b se puede expresar como a · q (donde q es el cociente), lo que significa que hemos encontrado un número natural (q) que multiplicado por a da b.

1.2. Definición de Múltiplo

Se dice que un número a es múltiplo de otro número b si existe un número entero n tal que, al multiplicarlo por b, el resultado es a. Es decir, a = n · b.

2. Propiedades de la Divisibilidad

• Suma de Múltiplos: Si un número a es divisor de otros dos números, b y c, entonces a también es divisor de su suma (b + c).
  Demostración: Si a|b y a|c, entonces existen números enteros n₁ y n₂ tales que b = a · n₁ y c = a · n₂. Sumando ambas igualdades, obtenemos b + c = a · n₁ + a · n₂ = a · (n₁ + n₂). Dado que (n₁ + n₂) es un número entero, esto demuestra que a es divisor de (b + c).
• Diferencia de Múltiplos: Si un número a es divisor de otros dos números, b y c (con b ≥ c), entonces a también es divisor de su diferencia (b - c).
  Demostración: Similar al caso de la suma, si b = a · n₁ y c = a · n₂, entonces b - c = a · n₁ - a · n₂ = a · (n₁ - n₂). Por lo tanto, a es divisor de (b - c).
• Divisibilidad de Múltiplos: Si un número a es divisor de otro número b, entonces a es divisor de cualquier múltiplo de b.
  Demostración: Si a|b, entonces b = a · n₁ para algún entero n₁. Si multiplicamos b por cualquier entero k, obtenemos b · k = (a · n₁) · k = a · (n₁ · k). Como (n₁ · k) es un entero, a es divisor de (b · k).
• Multiplicación por una Constante: Si un número a es divisor de otro número b, y multiplicamos ambos números por una misma cantidad x, la relación de divisibilidad se mantiene. Es decir, (a · x) es divisor de (b · x).
  Demostración: Si a|b, entonces b = a · n para algún entero n. Multiplicando ambos lados por x, tenemos b · x = (a · n) · x = (a · x) · n. Esto demuestra que (a · x) es divisor de (b · x).
• Divisibilidad del Producto (Múltiples Divisores): Si un número a es divisor de otros dos números, b y c, entonces a también es divisor de su producto (b · c).
  Demostración: Si a|b y a|c, entonces existen números enteros n₁ y n₂ tales que b = a · n₁ y c = a · n₂. Multiplicando ambas igualdades, obtenemos b · c = (a · n₁) · (a · n₂) = a² · n₁ · n₂. Dado que a² · n₁ · n₂ es un múltiplo de a (ya que a · n₁ · n₂ es un entero), esto demuestra que a es divisor de (b · c).
• Divisibilidad de Potencias: Si un número a es divisor de otro número b, entonces a es divisor de cualquier potencia natural de b con exponente mayor o igual que uno (bⁿ, donde n ≥ 1).
  Demostración: Si a|b, entonces b = a · k para algún entero k. Elevando a la potencia n, tenemos bⁿ = (a · k)ⁿ = aⁿ · kⁿ. Dado que aⁿ es un múltiplo de a (si n ≥ 1), y kⁿ es un entero, entonces a es divisor de bⁿ.
• La Unidad: La unidad (el número 1) es divisor de todos los números naturales.
  Demostración: Para cualquier número natural n, se cumple que 1 · n = n. Por definición, 1 es divisor de n.
• Divisibilidad por Sí Mismo: Todo número natural es divisor de sí mismo.
  Demostración: Para cualquier número natural a, se cumple que a · 1 = a. Por definición, a es divisor de a.
• Divisibilidad de Cero: Todo número natural a (con a ≠ 0) es divisor de cero.
  Demostración: Para cualquier número natural a ≠ 0, se cumple que a · 0 = 0. Por definición, a es divisor de 0.

3. Criterios de Divisibilidad

• Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8).
• Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
• Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o si termina en "00".
• Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5.
• Divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 simultáneamente.
• Divisibilidad por 7: Para saber si un número es divisible por 7, separamos la última cifra, la multiplicamos por 2 y restamos este resultado al número que queda. Si el resultado es 0, 7 o un múltiplo de 7, entonces el número original es divisible por 7. Este proceso se puede repetir.
• Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es un múltiplo de 8 o si termina en "000".
• Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.
• Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0.
• Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan posiciones impares y la suma de las cifras que ocupan posiciones pares (contando de derecha a izquierda) es 0, 11 o un múltiplo de 11.

4. Sistemas de Numeración y Conversión de Bases

4.1. Conversión Indirecta (Pasando por Base 10)

De cualquier base a base 10:

Para convertir un número de una base b (distinta de 10) a base 10, se utiliza el método de expansión polinómica. Cada cifra del número se multiplica por la base elevada a la posición que ocupa (contando desde 0 de derecha a izquierda), y luego se suman los resultados.

De base 10 a cualquier base:

Para convertir un número de base 10 a una base b, se utiliza el método de divisiones sucesivas. Se divide el número original y los cocientes sucesivos entre la nueva base b, hasta que el cociente sea cero. El número en la nueva base se forma con los restos obtenidos, leídos de abajo hacia arriba (del último al primero).

4.2. Conversión Directa (Casos Específicos)

La conversión directa entre bases que no son base 10 es más compleja y, en la mayoría de los casos, se realiza de forma indirecta pasando por la base 10. Sin embargo, existen métodos directos para casos específicos, como la conversión entre bases que son potencias una de la otra (por ejemplo, de binario a octal o hexadecimal, y viceversa), que implican agrupar o desagrupar dígitos.

Para bases arbitrarias, la conversión directa sin pasar por base 10 es menos común y requiere algoritmos más avanzados que no se detallan aquí, siendo el método indirecto el más práctico y universal.