Fundamentos de Distribuciones de Probabilidad: Variables Continuas y Normal

Distribución de Probabilidad de Variable Continua

Definición de Distribución de Probabilidad: La distribución de probabilidad de una variable continua se define a partir del área bajo una función, la cual se denomina "función de densidad".

Condiciones de la Función de Densidad

• No puede tomar valores negativos.
• El área entre la función y el eje X debe ser igual a 1.

Cálculo de Probabilidades en Variables Continuas

En una distribución continua, la probabilidad de cualquier valor concreto es 0. La probabilidad entre dos valores es igual al área de la función que queda entre ellos.

La Distribución Normal

• Se denota como N(media, desviación típica).
• Muchas situaciones en la naturaleza y la sociedad siguen una distribución normal (e.g., altura, peso de las personas).
• Se define a partir de una función exponencial, conocida como la Campana de Gauss.

Características de la Campana de Gauss

• Su máximo coincide con la media de los valores de la distribución.
• Es simétrica respecto a la media.
• Para cada valor de desviación típica, existe una curva normal específica.
• La distribución normal estándar se denota como N(0,1).
• La forma de la campana depende del valor de la desviación típica: cuanto mayor sea, más achatada será.
• La posición de la campana depende de la media de la distribución, mientras que su dispersión o 'achatamiento' depende de la desviación típica.

Propiedades de la Distribución Normal

En cualquier distribución normal se cumplen las siguientes propiedades:

• P(μ - σ < X < μ + σ): 0.6828 (aproximadamente el 68.28% de los datos caen dentro de una desviación estándar de la media).
• P(μ - 2σ < X < μ + 2σ): 0.9544 (aproximadamente el 95.44% de los datos caen dentro de dos desviaciones estándar de la media).
• P(μ - 3σ < X < μ + 3σ): 0.9974 (aproximadamente el 99.74% de los datos caen dentro de tres desviaciones estándar de la media).

Cálculo de Probabilidades en Distribuciones Normales

Probabilidad en la Distribución Normal Estándar N(0,1)

Para hallar la probabilidad de que se obtenga un valor menor o igual a un valor dado (k) en una distribución normal estándar, se utiliza una tabla de la distribución normal (tabla Z).

Uso de la Tabla Z:

• Para buscar un valor en la tabla, se localiza la parte entera y la primera decimal en la primera columna.
• Luego, se busca la segunda decimal en la primera fila.
• El valor en la intersección de la fila y la columna corresponde a la probabilidad buscada.

Cálculo de Probabilidades No Directamente en la Tabla Z

Para calcular probabilidades que no se encuentran directamente en la tabla Z, se utilizan las siguientes propiedades:

1. Probabilidad de Z mayor que K: La probabilidad de que Z sea mayor que un número K es igual a 1 menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que K.
   P(Z > K) = 1 - P(Z ≤ K)
2. Probabilidad de Z menor que un número negativo: La probabilidad de que Z sea menor que un número negativo (-K) es igual a la probabilidad de que Z sea mayor que ese número en positivo (K).
   P(Z < -K) = P(Z > K)
3. Probabilidad entre dos valores: La probabilidad de que Z se encuentre entre dos valores (K1 y K2, con K1 < K2) es igual a la probabilidad de que Z sea menor o igual que el valor mayor (K2) menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que el valor menor (K1).
   P(K1 < Z < K2) = P(Z ≤ K2) - P(Z ≤ K1)

Cálculo de Probabilidades para Cualquier Distribución Normal

Para calcular la probabilidad de cualquier distribución normal (X), es necesario tipificarla. Esto implica transformar la variable original (X) en una variable normal estándar (Z). La fórmula para tipificar es:

Z = (X - μ) / σ

Donde:

• X es el valor de la variable aleatoria.
• μ (mu) es la media de la distribución.
• σ (sigma) es la desviación típica de la distribución.

Aproximación de la Distribución Binomial a la Normal

Si se tiene una distribución binomial, esta puede aproximarse a una distribución normal bajo ciertas condiciones. La aproximación es más precisa cuanto mayor sea el producto de np o nq.

• Si np > 3 y nq > 3: La aproximación es bastante buena.
• Si np > 5 y nq > 5: La aproximación es muy buena.