Fundamentos de Dinámica: Leyes de Newton y Aplicaciones Prácticas

La dinámica es la parte de la mecánica que estudia conjuntamente el movimiento y las causas que lo originan. Esta comprensión es importante desde el punto de vista del conocimiento básico, la ingeniería y aplicaciones prácticas. Esta comprensión de cómo se produce el movimiento nos capacita para diseñar máquinas y otros instrumentos prácticos.

Nuestra experiencia diaria nos dice que el movimiento de un cuerpo es el resultado directo de sus interacciones con los cuerpos que lo rodean (entorno). Este fenómeno físico que modifica el movimiento de los cuerpos se denomina acción dinámica. Las interacciones se describen convenientemente como un concepto matemático denominado fuerza. Por lo tanto, también se puede decir que: el estudio de la dinámica es básicamente el análisis de la relación entre la fuerza y los cambios en el movimiento de un cuerpo.

1ra Ley de Newton de Inercia: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, salvo que se vea forzado a cambiar su estado por una fuerza impresa sobre él. También, el primer principio puede interpretarse con el concepto de partícula libre, diciendo que una partícula libre se mueve en línea recta con una velocidad constante o se encuentra en reposo, considerando que una partícula libre es aquella que no está sujeta a interacción alguna. En la práctica, hay algunas partículas que pueden considerarse libres, ya sea porque se encuentran lo suficientemente alejadas de otras y sus interacciones son despreciables o se cancelan.

2da Ley de Newton de Masa: Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo, donde la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo. Esta relación se puede expresar de la siguiente manera: F = m.a. Una aceleración es producida por una fuerza que actúa sobre una masa. Es directamente proporcional a la fuerza externa resultante (fuerza neta) que actúa sobre dicho cuerpo y que tiene la misma dirección y sentido que la fuerza. F = FR = EFi. La unidad de la fuerza en el SI es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que se debe aplicar para que una masa de 1 kg adquiera una aceleración de 1 m/s². 1 N = 1 kg*m/s². Vamos a generalizar la 2da ley de Newton para sistemas en los que pueda variar la masa. Para ello, primero vamos a definir una nueva magnitud física: la cantidad de movimiento o momento lineal, que se representa por la letra p y se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad: p = m*v. En el SI se mide en kg*m/s. En términos de esta nueva magnitud física, la 2da ley se expresa como: la fuerza es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de un cuerpo: F = dp/dt --> F = d(mv)/dt --> dm/dt * v + m * dv/dt. Si consideramos la masa constante, dm/dt = 0 y a = dv/dt --> F = m*a.

3ra Ley de Newton de Acción y Reacción: Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B (acción), entonces el cuerpo B ejerce una fuerza sobre A (una reacción) que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido contrario, y actúa sobre cuerpos diferentes: Fab = -Fba.

Sistemas Inerciales: Un sistema se considera inercial si en él se cumplen las leyes de Newton. El sistema inercial es aquel que se comporta como una partícula libre, no está sujeta a interacciones con el resto del universo. Suponemos que estos sistemas no están rotando, no tienen aceleraciones o se mueven a velocidad constante. Debido a su rotación diaria y su interacción con el sol y otros planetas, la Tierra no es un sistema inercial; sin embargo, los efectos de la rotación y sus interacciones son despreciables. Los sistemas de referencia unidos a nuestros laboratorios terrestres son considerados inerciales. Consideremos los sistemas fijo O y móvil O'. Para los dos casos, la partícula se encuentra en equilibrio. En el caso A, el sistema móvil está en reposo (v = 0) con respecto al sistema fijo O; la partícula o pelotita mantiene el reposo para ambos sistemas. En el caso B, el sistema móvil O' se mueve con una velocidad constante con respecto al sistema fijo O; la pelotita se mueve con la misma velocidad constante respecto al sistema. Los sistemas fijo O y el móvil O' son inerciales.

Sistemas No Inerciales: Consideramos los sistemas: fijo O y el móvil O'. Sea el sistema inercial O y el sistema aceleradamente lineal O'. En el sistema O debe satisfacerse la ley de inercia si no hay fuerza. La partícula es observada desde el sistema O en reposo; el sistema O' no nota fuerza, solo que su sistema está acelerado. Al igual que en el caso de los sistemas inerciales, la relación entre la velocidad de una partícula medida para los dos sistemas es: V = V' + u, donde ahora la velocidad entre los sistemas es variable. Calculamos la relación entre aceleraciones de la partícula en los dos sistemas: ax = (v2 - v1)/(t2 - t1) = (V'x2 + u2)/(t2 - t1) + (V'x1 + u1)/(t2 - t1) = (V'x2 - V'x1) + (u2 - u1)/(t2 - t1). Donde u2 y u1 son las velocidades del sistema móvil O' en t2 y t1. Así nos queda: ax = ax' + a, donde a es la aceleración del sistema móvil respecto al fijo. De acuerdo con la expresión obtenida, si la partícula está en reposo en O (ax = 0, vx = 0), vista por el sistema O', tendrá una aceleración 0 = ax' + a --> ax' = -a; la partícula se mueve aceleradamente hacia atrás.

Es claro que la 2da ley de Newton no puede ser aplicada o simultáneamente válida en ambos sistemas, dado que ax = ax'. Analógicamente, si la 1ra ley es válida en el sistema O, no lo será en O'. Entonces, si queremos mantener la validez de la afirmación newtoniana "las aceleraciones son debidas a la fuerza", deberíamos inventar una fuerza ficticia para que cause la aceleración observada. También se puede decir que, para que se mantenga el estado de reposo con respecto al sistema O', deberíamos aplicarle una fuerza horizontal, pero esto no concuerda con la 1ra ley. Concluimos que los sistemas acelerados son no inerciales.

Leyes de Mach: La inercia de cualquier sistema es el resultado de su interacción con el resto del universo (cada partícula del universo ejerce una influencia sobre las demás). Debido a la circularidad alrededor de los conceptos de fuerza y masa a través de la ecuación F = m*a, el método o forma de Mach elimina algunas de estas dificultades: en el método de Mach consideramos la interacción entre dos cuerpos puntuales y aislados que se ejercen solo acciones mutuas. El método comprueba experimentalmente que: 1- En todo instante, las aceleraciones de los cuerpos a2 y a1 tienen la dirección de la recta que une a ambos y sentidos opuestos, cualquiera que sea el mecanismo por el cual se aceleran. 2- En todo instante, el cociente de los módulos de las aceleraciones a1/a2 tiene el mismo valor; este valor depende exclusivamente de los dos cuerpos que interactúan y es independiente del tipo de interacción. Llamamos a este cociente "masa inercial del cuerpo 2 en unidades del cuerpo 1". a1/a2 = a1'/a2' = a1''/a2'' = m21. Se observa que estas aceleraciones varían de caso en caso y en función del tiempo; lo importante y notable es que el cociente de sus módulos se mantiene invariable para los dos cuerpos. Si se toma un tercer cuerpo y lo ponemos en interacción con el primero, se tendrán las relaciones: a1/a3 = a1'/a13' = cte = m31. Generalizando, tomamos un cuerpo n-ésimo y tendremos que a1/an = a1'/an' = cte = mn1. Poniendo ahora el cuerpo 3 en interacción con el cuerpo 2, resulta: a2/a3 = a2'/a3' = cte = m32 = m3/m2 = m31/m21. Si ahora adoptamos la masa 1 como unidad de masa inercial, se puede suprimir el subíndice 1: a1/an = mn, denominando al cociente masa inercial de n, es decir, que si convenimos que el patrón de masa inercial sea la masa del cuerpo 1, entonces la masa de cualquier cuerpo puede obtenerse midiendo las interacciones cuando se lo hace interactuar con el patrón. El valor de la masa de un cuerpo es el número que mide cuántas veces más aceleración tiene el cuerpo unidad cuando se lo pone en interacción con el cuerpo dado: m/m1 = a1/a --> m = a1/a * m1 (kg patrón). Resumiendo, con el método de Mach se introduce una nueva magnitud física llamada masa inercial, que representa el hecho físico de que cuando dos cuerpos son puestos en interacción mutua, cualquiera que sea el cociente de sus aceleraciones es siempre el mismo, dependiendo solo de los cuerpos.

Dinamica Circular: Consideramos el caso de un cuerpo animado con movimiento curvilíneo. Para producir el movimiento, la fuerza resultante debe estar haciendo un ángulo con respecto a la velocidad, de modo que la aceleración tenga una componente perpendicular a la velocidad que proporcionará el cambio en la dirección del movimiento. Además, la fuerza aplicada es paralela a la aceleración. Como todos los movimientos de una partícula se rigen por la 2da ley de Newton, EFi = m*a. Por lo tanto, la componente de la fuerza tangente a la trayectoria o fuerza tangencial es Ft = m*at o Ft = m*dv/dt. La componente de la fuerza perpendicular a la trayectoria, es decir, la fuerza normal o centrípeta, es Fn = m*an o Fn = m*v²/R. La fuerza centrípeta está siempre dirigida al centro de la curvatura. Si la fuerza tangencial es 0, no hay aceleración tangente y el movimiento es circular uniforme; y si Fn = 0, no tiene an, entonces el movimiento es rectilíneo. Para el caso del movimiento circular, v = ωr, de modo que la fuerza es también Fn = m*ω²*R, y si consideramos el caso del mcu, la única aceleración es la centrípeta, que se puede escribir como an = ωxV. Por consiguiente, F = m*ωxV = ωxmV = ωxp; esta es una relación importante entre la fuerza, la velocidad angular y el movimiento lineal de una partícula en mcu.

Movimiento en una Circunferencia Vertical: La figura representa un cuerpo pequeño atado a una cuerda de longitud r, dando vueltas en una circunferencia vertical alrededor de un punto fijo O. El cuerpo aumenta su velocidad cuando desciende y disminuye cuando asciende. Se representa por V1 la velocidad del cuerpo en el punto más alto. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: su peso mg y la tensión T1, ambas actuando hacia abajo. La fuerza resultante es EFi = T1 + mg. Aplicando en su punto la expresión EFi = m*ac --> T1 + mg = m*V1²/R --> T1 = m*V1²/R - mg.

La fuerza resultante es la fuerza centrípeta que actúa hacia el centro cuando el cuerpo efectúa un movimiento circular. En forma análoga, en el punto más bajo de la circunferencia: T2 - mg = m*V2²/R --> T2 = m*V2²/R + mg. Se observa que la tensión en la parte más baja es mayor: T2 > T1. Se toma como positivo el sentido hacia el centro de la circunferencia. Para el punto más alto, es un hecho que existe cierta velocidad crítica, por debajo de la cual la cuerda deja de estar tensa. Para encontrar esa velocidad, se considera el punto límite cuando T1 = 0; reemplazando en la ecuación queda: 0 = m*V1²/R - mg --> V1 = √(g*r).

Vehículos en una Curva: a) El coche describe una curva sin peralte. Suponemos que el vehículo circula con velocidad constante y actúa sobre él una fuerza de rozamiento en la dirección perpendicular a su vector velocidad tangencial. Las fuerzas que actúan son tres: peso, la reacción del plano y la fuerza de rozamiento. Aplicando la 2da ley de Newton al movimiento se obtiene: En la dirección vertical o eje y, se tiene equilibrio y el cuerpo no se mueve en su sentido: ∑Fi = 0... N - mg = 0 --> N = mg. En la dirección horizontal o eje x, que es también la dirección radial: Fr = m*ac --> Fr = m*V²/R. Teniendo en cuenta la definición de fuerza de roce: Fr = μN = μmg; reemplazamos y obtenemos: V = √(μgr).

b) Consideramos el caso de una curva peraltada con rozamiento. Analizamos el problema desde el punto de vista del observador inercial. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son las mismas que en el caso de la curva sin peralte, pero con distinta orientación, salvo el peso (mg, Fr, N). En el eje vertical no hay aceleración; tenemos una situación de equilibrio: ∑Fy = 0 --> Ncos(θ) = Frsen(θ) + mg. En el eje horizontal, aplicando la 2da ley de Newton para el movimiento circular: ∑Fx = m*ac --> Nsen(θ) + Frcos(θ) = m*V²/R. El vehículo comienza a deslizar en la dirección radial cuando lleva una velocidad tal que Fr = μN. En el sistema de dos ecuaciones: N(cos(θ) - μsen(θ)) = mg (ecuación 1) y N(sen(θ) + μcos(θ)) = mV²/R (ecuación 2). Dividiendo la ecuación 2 con la 1 y despejando velocidad, obtenemos: %IMAGE_1% y en el caso que no se considere el rozamiento u = 0, entonces %IMAGE_2%.

Fuerza de Rozamiento: La naturaleza de la fuerza de rozamiento se debe a que la materia es discontinua (particulada/granulada); entonces, entre partículas siempre existen espacios vacíos. Por esta propiedad de la materia, cuando dos superficies están en contacto (por más lisas que sean), ocurre que algunas partes de cada cuerpo se introducen en el otro, es decir, se encastran o enganchan. Por eso, cuando se intenta desplazar un cuerpo respecto a otro, las partes enganchadas se resisten al desplazamiento mutuo. La suma de todas esas resistencias constituye la fuerza de rozamiento. Es lógico suponer que cuanto más apretadas estén las superficies enfrentadas, mayor será la intrusión mutua y grado de encastre, y por lo tanto, mayor la fuerza que resistirá el desplazamiento mutuo entre las superficies. El rozamiento depende de la rugosidad del par de superficies enfrentadas; por lo tanto, será mayor cuanto más rugosas sean las superficies y menor cuanto más lisas y pulidas sean. El coeficiente de rozamiento estático es mayor que el dinámico, ya que si dos superficies enfrentadas están quietas, sus partículas tienen tiempo y oportunidad de instruirse mutuamente, y luego, cuando uno intenta deslizarlas, las encuentra mucho más unidas. Si ya se encuentran en movimiento, no se les da tiempo suficiente a las rugosidades microscópicas para acomodarse entre sí. Fr = μN / Fre = μdN. La fuerza estática de rozamiento es la mínima fuerza necesaria para poner el cuerpo en movimiento, y la fuerza dinámica de rozamiento es la fuerza necesaria para mantener al cuerpo en movimiento uniforme relativo.

Fuerzas Inerciales: Un sistema de referencia es no inercial cuando en el mismo no se cumplen las leyes de Newton, cuando dicho sistema está acelerado: F ≠ m*a. Se puede salvar la validez de la 2da ley si se postula que sobre el cuerpo actúa otra fuerza, una fuerza inercial: F' = -m*a. De forma que, si el cuerpo se encuentra en reposo respecto a un sistema no inercial, F + F' = 0. A F' la llamamos fuerza inercial de arrastre en el caso de que la terna móvil tenga solamente movimiento de traslación. En el caso general, con movimiento de rotación y traslación para la terna móvil, F + F'arr + Fcor = m*a_rel, donde F es la resultante de las fuerzas de interacción, F'arr es la fuerza inercial de arrastre, Fcor es la fuerza de Coriolis (Fcor = m*ac), y a_rel es la aceleración del cuerpo respecto al sistema no inercial.

Trabajo Mecánico: Definición: El trabajo es el producto de la proyección de la fuerza en la dirección del movimiento por el desplazamiento. Consideramos A una partícula que se mueve a lo largo de una curva, bajo la acción de una fuerza F. En un periodo de tiempo muy corto "dt", la partícula se mueve de A a A', siendo el desplazamiento muy pequeño: AA' = dr. El trabajo efectuado por la fuerza F durante tal desplazamiento se define como el producto escalar de la fuerza aplicada por el desplazamiento: dW = F . dr; por esta razón, el trabajo es un escalar, aunque se calcula usando dos unidades vectoriales. Designando la magnitud del desplazamiento dr que representa la distancia recorrida por ds, se puede escribir: %IMAGE_8%. Se aprecia en el gráfico que θ es el ángulo entre la dirección de la fuerza F y el desplazamiento dr. Entonces, %IMAGE_9% es la componente de la fuerza aplicada a lo largo de la tangente de la trayectoria: dW = Ft * ds. Se puede expresar como: El trabajo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento.

Para los casos donde la dirección de la fuerza es perpendicular al desplazamiento (θ = 90°), el trabajo efectuado por dicha fuerza es 0. En el primer gráfico, en el movimiento circular, la fuerza centrípeta no efectúa trabajo; en el segundo gráfico, la fuerza de gravedad mg no efectúa trabajo cuando se mueve sobre un plano horizontal.

La ecuación %IMAGE_10% nos da el trabajo para un desplazamiento infinitesimal; por lo tanto, el trabajo total sobre la partícula cuando se mueve de A hasta B es la suma de todos los trabajos infinitesimales efectuados en los sucesivos desplazamientos infinitesimales: %IMAGE_11%.

Para efectuar la integral, es necesario conocer la fuerza F en función de las variables x, y, z, así como también la ecuación de trayectoria de la partícula.

Graficando Ft en función de la distancia s: el trabajo %IMAGE_13%. Para hallar el trabajo total, dividimos el área total sombreada en rectángulos alargados y sumamos sus áreas; esta sumatoria es la integral: W = %IMAGE_14% (Expresión del trabajo realizado por fuerza variable).

En el caso particular donde la fuerza es constante en magnitud y en dirección y el cuerpo se mueve rectilíneamente en dirección de la fuerza: %IMAGE_15%. Si las componentes rectangulares de las fuerzas son Fx, Fy y Fz, y las componentes del desplazamiento son dx, dy y dz, el trabajo resulta de: W = Fx dx + Fy dy + Fz dz cuando sobre la partícula actúan varias fuerzas, los trabajos efectuados por cada una de ellas tienen el mismo desplazamiento: W = ∑W, donde F es la fuerza resultante.

Potencia: Desde el punto de vista ingenieril, el concepto de potencia es importante, pues cuando se diseña una máquina, la rapidez con la que puede efectuar el trabajo es importante. Se define potencia instantánea como: %IMAGE_18%; trabajo efectuado por unidad de tiempo durante un intervalo de tiempo muy pequeño. Unidades: watt = joule/seg. También se usa caballo de vapor (CV) = 746W (watt). Otra forma de expresar la potencia es: P = F . v; la potencia se define como el producto de la fuerza por la velocidad. La potencia promedio resulta de dividir el trabajo total por el tiempo: %IMAGE_20%.

Trabajo efectuado por una fuerza variable: Ejemplo: la fuerza de un resorte: En una dimensión, la fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo es: %IMAGE_21%. Se conoce como la ley de Hooke, donde “k” es constante; la fuerza del resorte es negativa porque el sentido de la fuerza es contrario al sentido del desplazamiento respecto a su posición de equilibrio X = 0; estirado X > 0 (la fuerza es positiva) y comprimido X < 0 (la fuerza es negativa). El trabajo que la fuerza del resorte realiza es: %IMAGE_22%.

Teorema del Trabajo y la Energía: Este teorema demuestra la relación que existe entre el trabajo total realizado por las fuerzas externas sobre un cuerpo y los cambios producidos en la rapidez del mismo. Este teorema también es conocido como el teorema de la variación de la energía cinética o teorema de las fuerzas vivas.

Supongamos que la componente de las resultantes que actúa sobre la partícula es la fuerza tangencial: %IMAGE_24%. Podemos escribir: %IMAGE_25%. Por lo tanto, aplicando esta expresión a la definición del trabajo total sobre la partícula cuando esta se mueve de A a B, se tiene: %IMAGE_26%.

Resumiendo: %IMAGE_28%.

Donde VB es la velocidad de la partícula en el punto final B y donde VA es la velocidad de la partícula en el punto inicial A. El resultado nos indica que, cualquiera que sea la forma funcional de la fuerza F y la trayectoria seguida por la partícula, el valor del trabajo W efectuado por la fuerza es igual a la diferencia entre las magnitudes de %IMAGE_30%, evaluadas al final y al inicio de la trayectoria. Esta magnitud se llama ENERGÍA CINÉTICA y se escribe como: %IMAGE_31%. Cuya expresión dice: “el trabajo efectuado sobre una partícula es igual al cambio producido en su energía cinética”. Esta definición tiene una validez general, cualquiera que sea la naturaleza de la fuerza aplicada. Las unidades de la energía cinética son en joules para el SI. Expresada la energía cinética en función de la cantidad de movimiento: %IMAGE_33%.

Trabajo de una fuerza de magnitud y dirección constante: Consideramos una partícula de masa m que se mueve bajo la acción de una fuerza F constante. El trabajo de la fuerza F, cuando la partícula se mueve de A a B, a lo largo de la trayectoria 1 es: %IMAGE_35%. Se puede concluir que el trabajo es independiente de la trayectoria que conecta A con B. Se puede ejemplificar si ahora la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria 2 que une A con B. El trabajo será el mismo, ya que la diferencia vectorial %IMAGE_36% - %IMAGE_37% es siempre la misma; consecuentemente, también se puede escribir: %IMAGE_38%.

Si consideramos la fuerza de la gravedad y aplicamos la ecuación anterior, se tiene: %IMAGE_39%. Pero F = mg = -mg j y %IMAGE_40%. Por lo que resulta: %IMAGE_41%. Notamos que la fuerza de la gravedad es conservativa y que la energía potencial debida a la gravedad es: %IMAGE_42%. La expresión encontrada nos dice que el trabajo W depende solamente de la distancia entre las alturas de los extremos. El trabajo W puede ser expresado como la diferencia entre los valores de una cantidad Ep (x,y,z), que se llama energía potencial y es una función de las coordenadas de las partículas; por lo tanto, si F es una fuerza conservativa: %IMAGE_43%.

Para una fuerza constante: %IMAGE_45%. Podemos expresar también: %IMAGE_46%. El trabajo de fuerzas conservativas: %IMAGE_47%.

Concluimos: “la energía potencial es una función de las coordenadas tal que las diferencias en sus valores en las posiciones inicial y final son iguales al trabajo efectuado sobre la partícula para moverla de su posición inicial a la final”.

Se puede observar en los gráficos que, cualquiera que sea la trayectoria que une a los puntos A y B, la diferencia %IMAGE_48% es la misma, ya que depende solamente de las coordenadas de A y B. Por lo tanto, “el trabajo efectuado por las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria”.

En particular, si la trayectoria es cerrada, de modo que el punto final coincide con el inicial (es decir, A y B son el mismo punto), entonces %IMAGE_49% y el trabajo es cero (W = 0). Esto significa que en parte de la trayectoria el trabajo es positivo, y en otra es negativo, pero iguales en magnitud, dando un resultado neto nulo. Cuando la trayectoria es cerrada, la integral se escribe: %IMAGE_50%; el círculo en el signo integral indica que la trayectoria es cerrada, por lo tanto: %IMAGE_51%. El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo.

Se denominan fuerzas conservativas a aquellas que efectúan un trabajo nulo sobre una partícula que se mueve siguiendo una trayectoria cerrada. Ejemplos de este tipo de fuerza son la fuerza peso, fuerza elástica y electrostática. Una fuerza es no conservativa o disipativa si el trabajo efectuado por la misma sobre una partícula siguiendo una trayectoria cerrada cualquiera no es nulo. Ejemplo de este tipo son la fuerza de rozamiento y fuerzas viscosas. Supongamos que la partícula va desde A hacia B por el trayecto l; luego dicha partícula regresa desde B hacia A por el trayecto ll.

Si la fuerza actuante F encargada de trasladar dicha partícula fuera conservativa: %IMAGE_52%.

Es decir: %IMAGE_54%. Concluimos que una fuerza es conservativa si el trabajo hecho por ella sobre una partícula que mueve entre dos puntos cualquiera depende solamente de esos puntos inicial y final, y no de la trayectoria.

Energía Potencial Gravitatoria: El trabajo total efectuado por la fuerza gravitatoria, cualquiera sea la trayectoria, es igual al producto de (-mg) multiplicado por el desplazamiento vertical (y2 - y1): Wg = -mg (y2 - y1) = mgy1 - mgy2 = U1 - U2. Este trabajo no se ve afectado por ningún movimiento horizontal que pueda darse; por lo tanto, se puede usar la misma ecuación para la energía potencial gravitacional, ya sea la trayectoria del cuerpo recta o curva.

Energía Potencial Elástica: El proceso de guardar energía en un cuerpo deformable, como el resorte o liga elástica, se puede describir en términos de energía potencial elástica. La fuerza aplicada F = k*x indica que existe una proporcionalidad entre la fuerza y el desplazamiento. El trabajo efectuado sobre una masa adosada a un resorte por la fuerza elástica, en términos de Ep, es: We = -1/2 kx².

Trabajo Realizado por Fuerzas No Conservativas: Supongamos la fuerza de un campo de fuerzas no conservativas y fuerzas conservativas. El teorema del trabajo y energía aplicado a dicho sistema se tiene: %IMAGE_56%, donde: %IMAGE_57% = trabajo de fuerzas conservativas y %IMAGE_58% = trabajo de fuerzas no conservativas. Despejando y reemplazando se tiene: %IMAGE_60% --> %IMAGE_61%. Generalizando, se puede decir que la suma de los trabajos de cada una de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica. Ejemplos de las fuerzas no conservativas son la de rozamiento y electromagnéticas.

Principio de Conservación de la Energía: Supongamos que todas las fuerzas que actúan sobre las partículas son conservativas: %IMAGE_63%. Reordenando: %IMAGE_64%. Como puede observarse en la ecuación, aparece en ambos miembros la suma de energía cinética y potencial que denominamos energía mecánica: %IMAGE_65%. Si las fuerzas que actúan sobre una partícula y que realizan el trabajo son conservativas, la energía mecánica se conserva, lo que es idéntico a decir que permanece constante: %IMAGE_66%.

Enunciado General del Teorema de Trabajo y Energía: Cuando en un sistema actúan tantas fuerzas gravitacionales, elásticas y de rozamiento (no conservativas), el trabajo realizado por todas las fuerzas es igual al cambio en la energía mecánica total, incluida la elástica: %IMAGE_67% --> %IMAGE_68%.

Discusión de Curvas de Energía Potencial: La siguiente curva representa la energía potencial para un movimiento unidimensional. Una de las primeras ecuaciones usadas nos daba la fuerza F sobre la partícula para cualquier valor de x, cuya expresión es: %IMAGE_69%. Donde la expresión %IMAGE_70% representa la pendiente de la curva. Se observa que la pendiente es positiva siempre que la curva crece y negativa cuando decrece. Por consiguiente, la fuerza F (el negativo de la pendiente) es negativa o dirigida hacia la izquierda cuando %IMAGE_72% está aumentando y positiva o dirigida hacia la derecha cuando %IMAGE_73% está disminuyendo. En los puntos donde %IMAGE_74% es mínimo o máximo, como son los puntos indicados por M1, M2 y M3, se cumple que %IMAGE_75%, y por lo tanto F = 0; tales posiciones son de equilibrio, denominadas: - Equilibrio estable de posición de mínimo, debido a que si la partícula se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, está sometida a una fuerza que trata de devolverla a dicha posición; - Equilibrio inestable de posición de máximo, debido a que si la partícula sufre un ligero desplazamiento de la posición de equilibrio, experimenta una fuerza que trata de alejarla aún más de dicha posición.

Si se considera una partícula con energía total E, indicada por la línea horizontal (1) en cualquier posición x, la energía está dada por la ordenada de la curva y la energía cinética está dada por la distancia de la curva a la línea E, es decir: %IMAGE_80%. La línea de energía E corta a la curva %IMAGE_81% en los puntos A y B. Se observa que a la izquierda de A y a la derecha de B, la energía E es menor que la energía potencial y, por lo tanto, en dichas regiones la energía cinética sería negativa, pero esto es imposible dado que %IMAGE_82% es necesariamente positiva; por lo tanto, el movimiento de la partícula está limitado al intervalo AB y la partícula oscila entre x = A' y x = B'; estos son puntos de retorno, allí la velocidad se anula y la partícula cambia su movimiento.

Si la partícula tiene una energía mayor, tal como corresponde a la línea (2), hay dos regiones posibles de movimiento: una oscilante entre C y D y otra oscilante entre F y G.

Si la partícula se encuentra en una de esas dos regiones, no puede saltar o pasar nunca a la otra, ya que ello requiere pasar por la región DF, donde la energía cinética sería negativa y, por lo tanto, no está permitido. Se dice que las dos regiones están separadas por una barrera de potencial.

Para el nivel de energía que corresponde a la línea (3), el movimiento de la partícula es oscilatorio entre H e I.

Para el nivel de energía de la línea (4), el movimiento no es oscilatorio y la partícula puede moverse entre el punto K y el infinito, es decir, si la partícula se está moviendo hacia la izquierda, al llegar al punto K rebota alejándose hacia la derecha sin regresar.