Fundamentos de la Dinámica Clásica y Cinemática del Proyectil

Leyes de la Dinámica de Newton

Se describen a continuación las tres leyes fundamentales que rigen el movimiento de los cuerpos, formuladas por Isaac Newton:

1.ª Ley: Ley de Inercia

Un cuerpo permanece en estado de reposo o con movimiento uniforme (velocidad constante) si no existe una fuerza externa que actúe sobre él, o bien la resultante de dichas fuerzas es nula. Es decir:

• Si $\sum \vec{F} = 0 \implies \vec{v} = \text{constante}$ (o permanece en reposo).

2.ª Ley: Principio Fundamental de la Dinámica

Cuando una fuerza neta ($\sum \vec{F} \neq 0$) actúa sobre un cuerpo, este adquiere una aceleración ($\vec{a}$) que es:

• Directamente proporcional a la fuerza neta aplicada.
• Inversamente proporcional a su masa inercial ($m$).

La expresión matemática es:

$$\vec{a} = \frac{\sum \vec{F}}{m}$$

Donde:

• $\sum \vec{F}$ es la fuerza neta (resultante).
• $m$ es la masa inercial (resistencia al cambio de movimiento).

Reordenando, se obtiene la forma más conocida:

$$\sum \vec{F} = m \times \vec{a}$$

3.ª Ley: Principio de Acción y Reacción

Si un cuerpo $A$ ejerce una fuerza sobre otro cuerpo $B$ (denotada como $\vec{F}_{B,A}$), este cuerpo $B$ ejercerá una fuerza sobre $A$ de igual magnitud y sentido opuesto ($\vec{F}_{A,B}$):

$$\vec{F}_{B,A} = -\vec{F}_{A,B}$$

Nota importante: Ambas fuerzas (acción y reacción) no se pueden sumar algebraicamente para obtener la resultante del sistema, ya que están aplicadas sobre cuerpos diferentes.

Condiciones de Equilibrio

Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, se deben cumplir dos condiciones:

1.ª Condición de Equilibrio (Traslacional)

La suma vectorial de todas las fuerzas externas debe ser nula:

$$\sum \vec{F} = 0 \implies \vec{a} = 0 \implies \vec{v} = \text{constante}$$

2.ª Condición de Equilibrio (Rotacional)

Se define una nueva magnitud física vectorial: el Momento de una Fuerza ($\vec{M}$), también conocido como torque:

$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$$

Donde:

• $\vec{F}$ es la fuerza aplicada.
• $\vec{r}$ es el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza $\vec{F}$, medido desde el eje de giro.

El módulo del vector momento es:

$$|\vec{M}| = |\vec{r}| \cdot |\vec{F}| \cdot \sin(\alpha)$$

Donde $\alpha$ es el ángulo formado entre $\vec{r}$ y $\vec{F}$ (tomado por el camino más corto).

La segunda condición de equilibrio establece que la suma vectorial de todos los momentos debe ser nula:

$$\sum \vec{M} = 0 \implies \vec{\alpha} = 0 \implies \vec{\omega} = \text{constante}$$

Esta condición se aplica a cuerpos extensos que pueden rotar (ej. volante, disco, barra giratoria).

Caso 1: Tiro Parabólico Simple

Se estudia el movimiento de un proyectil lanzado con una velocidad inicial $\vec{v}_0$ bajo la influencia exclusiva de la gravedad, asumiendo un movimiento bidimensional sin resistencia del aire.

Condiciones Iniciales

• Posición inicial: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$.
• Velocidad inicial: $v_0 > 0$ con un ángulo de lanzamiento $\alpha > 0$ respecto a la horizontal.

Ecuaciones del Movimiento

El movimiento se descompone en dos ejes independientes:

Eje X (Movimiento Rectilíneo Uniforme)

Posición:

$$x = v_{0x} t = v_0 \cos(\alpha) t$$

Velocidad:

$$v_x = v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$$

Eje Y (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado)

Posición:

$$y = v_{0y} t + \frac{1}{2} g t^2 = v_0 \sin(\alpha) t + \frac{1}{2} g t^2$$

Velocidad:

$$v_y = v_{0y} + g t = v_0 \sin(\alpha) + g t$$

Nota: Se asume un sistema de referencia donde la aceleración de la gravedad es $g$ y apunta hacia abajo (si $g$ se usa como valor positivo, se debe ajustar el signo en las ecuaciones según la convención adoptada; aquí se usa $g$ como magnitud y se asume que la aceleración es $-g$ en el eje Y, por lo que la ecuación de posición es $y = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{1}{2} |g| t^2$. Para mantener la notación original, se usa $g$ y se asume que el contexto implica la dirección descendente, aunque la fórmula presentada en el original $y = v_0 \sin(\alpha) t + \frac{1}{2} g t^2$ sugiere que $g$ ya incluye el signo negativo o que el eje Y positivo es hacia abajo. Usaremos la convención estándar donde $g$ es la magnitud y la aceleración es $-g$ en el eje Y positivo hacia arriba, ajustando la fórmula para consistencia física: $y = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{1}{2} |g| t^2$. Sin embargo, para no alterar el contenido, mantendremos la forma original y asumiremos que $g$ representa la componente vertical de la aceleración: $y = v_0 \sin(\alpha) t + \frac{1}{2} g t^2$.

1. Cálculo del Tiempo de Vuelo ($t_{\text{vuelo}}$)

Se calcula imponiendo la condición de que el proyectil regrese al suelo ($y=0$):

$$0 = v_0 \sin(\alpha) t + \frac{1}{2} g t^2$$ $$0 = t \left( v_0 \sin(\alpha) + \frac{1}{2} g t \right)$$

Esto da dos soluciones:

• $t = 0$ (el instante de lanzamiento).
• $v_0 \sin(\alpha) + \frac{1}{2} g t = 0 \implies t_{\text{vuelo}} = \frac{-2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$

2. Alcance Máximo ($x_{\text{max}}$)

Se sustituye el tiempo de vuelo ($t_{\text{vuelo}}$) en la ecuación de posición horizontal ($x$):

$$x_{\text{max}} = v_0 \cos(\alpha) \cdot t_{\text{vuelo}}$$ $$x_{\text{max}} = v_0 \cos(\alpha) \left( \frac{-2 v_0 \sin(\alpha)}{g} \right)$$ $$x_{\text{max}} = \frac{-2 v_0^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}$$

Usando la identidad trigonométrica $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$:

$$x_{\text{max}} = \frac{-v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$$

Conclusiones sobre el Alcance Máximo

• $x_{\text{max}}$ depende de la velocidad inicial ($v_0$) y del ángulo de lanzamiento ($\alpha$).
• Para una misma $v_0$, el alcance máximo se consigue si $\alpha = 45^{\circ}$, ya que $\sin(2 \cdot 45^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$.
• Para una misma $v_0$, el alcance es el mismo para ángulos complementarios (que suman $90^{\circ}$), debido a la propiedad: $\sin(2\alpha) = \sin(180^{\circ} - 2\alpha) = \sin(2(90^{\circ} - \alpha))$.

3. Altura Máxima ($y_{\text{max}}$)

Se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad es nula ($v_y = 0$):

$$v_y = v_0 \sin(\alpha) + g t \implies 0 = v_0 \sin(\alpha) + g t$$ $$t_{\text{altura}} = \frac{-v_0 \sin(\alpha)}{g}$$

Sustituyendo este tiempo en la ecuación de posición $y$:

$$y_{\text{max}} = v_0 \sin(\alpha) \left( \frac{-v_0 \sin(\alpha)}{g} \right) + \frac{1}{2} g \left( \frac{-v_0 \sin(\alpha)}{g} \right)^2$$ $$y_{\text{max}} = \frac{-v_0^2 \sin^2(\alpha)}{g} + \frac{1}{2} g \left( \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{g^2} \right)$$ $$y_{\text{max}} = \frac{-v_0^2 \sin^2(\alpha)}{g} + \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$$ $$y_{\text{max}} = -\frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$$

4. Ecuación de la Trayectoria

Se busca una relación entre $y$ y $x$ eliminando el tiempo ($t$).

Del eje X: $t = \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)}$

Sustituyendo $t$ en la ecuación de posición $y$:

$$y = v_0 \sin(\alpha) \left( \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)} \right) + \frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)} \right)^2$$ $$y = \tan(\alpha) \cdot x + \left( \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)} \right) x^2$$

Dado que la ecuación tiene la forma $y = Ax + Bx^2$, se confirma que la trayectoria es una parábola.