Fundamentos Didácticos del Recuento: Cardinales, Ordinales y Estrategias en Educación Matemática

Fundamentos de las Técnicas de Recuento y el Concepto de Número

Las técnicas de contar son universales y se han encontrado en todas las sociedades estudiadas hasta ahora. Estas técnicas resuelven importantes necesidades sociales y han dado lugar al concepto de número y de Aritmética.

Las técnicas de recuento surgen ligadas a la necesidad de:

• Comunicar información referente al tamaño: la numerosidad de las colecciones de objetos (cardinales de la colección).
• Indicar el lugar que ocupa un objeto en una colección ordenada (ordinal de la colección).

Cada colección de "objetos numéricos" la denominamos "sistema numeral" o sistema de representación numérica. Dos colecciones de objetos son coordinables si representan el mismo número.

Los números no son objetos concretos, sino "objetos ideales" o abstractos. Interesa considerarlos como "maneras de hablar" ante ciertas situaciones en las que reflexionamos sobre las actividades de recuento y ordenación y los instrumentos que usamos para ellas.

Implicaciones Curriculares en la Escuela

En la escuela, los niños llegan con concepciones previas de la aritmética que obtienen de su entorno. Un objetivo escolar fundamental debe ser ampliar y completar esas experiencias e informaciones.

Los alumnos deben llegar a conocer los distintos significados de los números y las operaciones, sus distintos usos y aplicaciones, así como la manera de representarlos y operar con ellos. Surgen así necesidades curriculares asociadas:

• Explicitar y conocer los distintos significados de números y operaciones.
• Las distintas representaciones de los números.
• Las situaciones que requieren de operaciones para resolver problemas.
• Los distintos algoritmos que permiten llevar a cabo cada operación.

Técnicas de Recuento para la Obtención de Cardinales

Estas técnicas están basadas en la existencia de “palabras numéricas” recitadas siempre en el mismo orden, de modo que siempre hay un elemento y un siguiente para cada una de ellas.

Pasos Fundamentales del Recuento

1. Se adjudica a cada elemento del conjunto una palabra distinta y solo una en el orden establecido.
2. La palabra adjudicada al último elemento del conjunto se repite, haciendo referencia a toda la colección, designando el número total de elementos o cardinal del conjunto.

Podemos, por tanto, “contar” porque nos sabemos (de memoria) una sucesión ordenada de palabras, lo que nos permite hallar el cardinal de un conjunto.

La tarea más complicada al “contar” es adjudicar a cada elemento del conjunto una palabra distinta y solo una. Ello requiere adjudicar un orden voluntario al conjunto, sin que se modifique el resultado final.

Es necesaria una coordinación entre la palabra articulada y la mano, o la vista, para marcar cada uno de los puntos ya contados. También se pueden usar técnicas auxiliares.

Significado de la Última Palabra Articulada

Al terminar, la última palabra hace referencia a dos conceptos:

• La posición del último objeto contado (Ordinal del elemento).
• Todo el conjunto, como total de elementos (Cardinal del conjunto).

Tipos de Recuento

• Recuento intransitivo: Recitar las palabras numéricas en orden sin mención alguna a cardinales y ordinales.
• Recuento transitivo: Aprender las palabras numéricas como medidas de conjuntos y como orden de los elementos de esos conjuntos.

Técnicas Auxiliares de Recuento

Cuantificar una colección es determinar su cardinal. La manera de hacerlo depende de su tamaño.

La Subitización

La Subitización es la capacidad de percibir el número de un vistazo; el número aparece en nuestra mente de inmediato (ejemplo: fichas de dominó).

• Es muy útil cuando los conjuntos contienen un número pequeño de objetos y están ordenados geométricamente o con una disposición regular.

Para conjuntos numerosos, se cuenta asociando palabras numéricas a cada objeto. El número final es el cardinal del conjunto, necesitando distinguir el subconjunto ya contado de los elementos que restan por contar.

Estrategias Auxiliares para el Conteo

Las técnicas auxiliares que podemos usar para facilitar el recuento son:

• Trazar un camino mental o físico a seguir mientras contamos, de forma que marque los objetos ya contados.
• Separar manual o mentalmente los objetos contados (particionar el conjunto).
• Sustituir la colección de partida por otra que contenga el mismo cardinal y contar esta última (coordinación uno a uno).

La elección de la técnica dependerá del número de elementos del conjunto, su distribución geométrica, el tipo de objetos contados, la accesibilidad de los mismos y su movilidad.

Todas estas técnicas van precedidas de una coordinación mano/vista y la emisión de la palabra. Es crucial aprender a emitir cada palabra a la vez que se fija la atención en un objeto.