Fundamentos de Didáctica Matemática: El Ábaco, los Niveles de Van Hiele y la Transitividad

El Ábaco: Herramienta para el Aprendizaje de la Medida

Consiste en un soporte, generalmente de madera, con una serie de varillas paralelas. En estas varillas se ensartan bolas o anillas de diferentes colores, que son fácilmente manipulables. Cada varilla representa un orden de unidades dentro del sistema decimal (unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.).

Utilidad del Ábaco

• Contar sistemáticamente.
• Representar cantidades y números.
• Construir conocimientos sobre los sistemas de numeración y sus características.
• Familiarizarse con las distintas unidades, los cambios de unidades y las equivalencias entre ellas.

Tipos de Ábaco

Ábacos Verticales

Las varillas están dispuestas verticalmente sobre una base o soporte. El número de varillas es variable. En cada varilla hay 10 bolas, usualmente del mismo color por varilla para representar el valor posicional.

Ábacos Horizontales

Las varillas están dispuestas de forma horizontal. El orden de las bolas puede ser arbitrario según el diseño. Las varillas pueden ser abiertas o en forma de U invertida (conocido como ábaco de restos).

Modelo de Van Hiele para el Razonamiento Geométrico

Para progresar de un nivel de razonamiento geométrico a otro según el modelo de Van Hiele, se deben atravesar las siguientes fases de aprendizaje:

1. Fase 1: Preguntas/Información (Evaluación Inicial).
2. Fase 2: Orientación dirigida (Instrucción directa del profesor).
3. Fase 3: Explicación (Realización de ejercicios y actividades propuestas).
4. Fase 4: Orientación libre (Actividades de ampliación y refuerzo con mayor autonomía).
5. Fase 5: Integración (Síntesis y evaluación del conocimiento adquirido, como un examen).

Los Niveles de Van Hiele

Nivel 0: Visualización o Reconocimiento

• Los objetos geométricos se perciben en su totalidad, como una unidad, sin diferenciar explícitamente sus atributos y componentes.
• Se describen por su apariencia física, asemejándolos a elementos familiares del entorno.
• No se reconocen de forma explícita los componentes y propiedades de las figuras. (Ejemplo: Reconocer la figura de un cuadrado y poder dibujarla o identificarla entre otras formas).

Nivel 1: Análisis

• Se perciben los componentes y propiedades de las figuras a través de la observación y la experimentación.
• Se describen informalmente las figuras por sus propiedades, pero sin relacionar unas propiedades con otras o unas figuras con otras.
• Se descubren nuevas propiedades mediante la experimentación.
• No se realizan clasificaciones formales de objetos y figuras a partir de sus propiedades. (Ejemplo: Identificar que un cuadrado tiene 4 lados iguales y 4 ángulos rectos).

Nivel 2: Ordenación o Clasificación

• Se realizan descripciones formales de las figuras. Esto conlleva entender el significado de las definiciones, su papel dentro de la geometría y los requisitos que implican.
• Se realizan clasificaciones lógicas de manera formal (inclusión de clases).
• Se siguen demostraciones sencillas, pero no se comprende completamente su estructura lógica o el papel de los axiomas. (Ejemplo: Responder razonadamente si un rectángulo es un paralelogramo).

Nivel 3: Deducción Formal

• Se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales.
• Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades, formalizándolas en sistemas axiomáticos.
• Se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados partiendo de proposiciones o premisas distintas.
• Se posee un alto nivel de razonamiento lógico y una visión globalizadora de las Matemáticas. (Ejemplo: Demostrar formalmente que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio).

Nivel 4: Rigor

• Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos (geometrías euclidianas y no euclidianas) y se pueden analizar y comparar.
• Se puede trabajar la Geometría de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos, alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático. (Ejemplo: Explicar el teorema de Pitágoras utilizando únicamente lenguaje algebraico y abstracto, o comparar diferentes geometrías).

La Propiedad Transitiva en la Medida

La transitividad es una propiedad fundamental en la medida. Consiste en lo siguiente: si un objeto A mide lo mismo que un objeto B, y el objeto B mide lo mismo que otro objeto C, entonces el objeto A mide lo mismo que el objeto C (A = B y B = C implica A = C).

• La transitividad se encuentra en la base de cualquier proceso de comparación de medidas en el que dicha comparación no se haga mediante superposición directa de los objetos, sino usando una unidad de medida o un intermediario.
• Un test clásico, evaluado por Piaget para valorar el uso de la transitividad, consiste en presentar al niño dos mesas de diferentes alturas separadas por una mampara. En una de las mesas hay una torre hecha con bloques de construcción de diferentes formas y tamaños. Se le pide al niño que construya en la otra mesa “una torre igual de alta” que la primera. Para ello, el niño dispone de bloques de diversas formas y tamaños y, crucialmente, de un elemento intermediario (como una vara) que puede usar para comparar las alturas sin ver ambas torres a la vez. La capacidad de usar eficazmente este intermediario demuestra la comprensión de la transitividad.