Fundamentos de Determinantes y Matrices: Definiciones, Cálculo y Propiedades Esenciales

Determinantes

Definición de Determinante

El determinante de una matriz cuadrada es un número escalar que se asocia a dicha matriz y que es único. Proporciona información importante sobre la matriz, como si es invertible o no.

Cálculo del Determinante n x n

Fórmula General

El determinante de una matriz A de orden n x n, denotado como det(A) o |A|, se calcula mediante la siguiente fórmula:

det(A) = ∑ (-1)^k a_1j1 × a_2j2 × … × a_njn

Donde:

• La suma se extiende sobre todas las n! permutaciones (j₁, j₂, …, j_n) de los números (1, 2, …, n).
• a_ij es el elemento de la matriz A en la fila i y la columna j.
• k es el número de inversiones en la permutación (j₁, j₂, …, j_n). Una inversión ocurre cuando un número mayor precede a un número menor en la permutación.
• El término (-1)^k determina el signo de cada producto en la suma.

Ejemplo para Determinante 3x3

Para una matriz A de 3x3:

A = |a₁₁ a₁₂ a₁₃|
|a₂₁ a₂₂ a₂₃|
|a₃₁ a₃₂ a₃₃|

Su determinante se calcula como la suma de 3! = 6 términos:

det(A) =

• (+) a₁₁a₂₂a₃₃ (permutación (1,2,3), k=0 inversiones, signo (-1)⁰ = +)
• (-) a₁₁a₂₃a₃₂ (permutación (1,3,2), k=1 inversión (3,2), signo (-1)¹ = -)
• (-) a₁₂a₂₁a₃₃ (permutación (2,1,3), k=1 inversión (2,1), signo (-1)¹ = -)
• (+) a₁₂a₂₃a₃₁ (permutación (2,3,1), k=2 inversiones (2,1), (3,1), signo (-1)² = +)
• (+) a₁₃a₂₁a₃₂ (permutación (3,1,2), k=2 inversiones (3,1), (3,2), signo (-1)² = +)
• (-) a₁₃a₂₂a₃₁ (permutación (3,2,1), k=3 inversiones (3,2), (3,1), (2,1), signo (-1)³ = -)

El signo de cada término es (-1)^k. Por ejemplo:

• Para k=0 (0 inversiones), el signo es (+).
• Para k=1 (1 inversión), el signo es (-).
• Para k=2 (2 inversiones), el signo es (+).

Para los determinantes 3x3, existe un método mnemotécnico conocido como la Regla de Sarrus, que simplifica el cálculo de estos 6 términos (3 con signo positivo y 3 con signo negativo).

Propiedades de los Determinantes

1. Fila o Columna de Ceros

Si A = (a_ij) es una matriz cuadrada de orden n y tiene una fila o columna compuesta enteramente por ceros, entonces det(A) = 0.

Demostración:

Por definición, det(A) = ∑ (-1)^k a_1j1 × a_2j2 × … × a_njn.

Supongamos que la fila h es una fila de ceros, es decir, a_hj = 0 para todo j (1 ≤ j ≤ n), donde h ∈ ℕ y 1 ≤ h ≤ n.

Cada término en la expansión del determinante es un producto de n elementos de la matriz, tomando exactamente un elemento de cada fila y cada columna. Por lo tanto, cada término contendrá un elemento de la fila h, digamos a_hjh.

Como todos los elementos de la fila h son cero (a_hjh = 0), cada término del sumatorio será de la forma:

(-1)^k a_1j1 × … × a_h-1,jh-1 × 0 × a_h+1,jh+1 × … × a_njn = 0.

Dado que todos los términos de la suma son cero, la suma total es cero. Por lo tanto, det(A) = 0.

Una demostración análoga se aplica si una columna es de ceros.

Matrices

Definición de Matriz

Se llama matriz de m filas y n columnas a una función f que a cada par ordenado (i, j) (donde 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n) le corresponde un único número real. Una matriz es, esencialmente, un arreglo rectangular de números.

Notación: A_mxn = (a_ij), donde a_ij es el elemento en la fila i-ésima y la columna j-ésima.

Igualdad de Matrices

Sean A_mxn = (a_ij) y B_pxq = (b_ij) dos matrices. Se dice que A = B si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

• Tienen el mismo número de filas: m = p.
• Tienen el mismo número de columnas: n = q.
• Sus elementos correspondientes son iguales: a_ij = b_ij para todo i, j.

Tipos Especiales de Matrices

Matriz Nula

Se llama matriz nula de dimensión m x n, denotada por O_mxn (o simplemente O), a la matriz donde todos sus elementos son cero: O_mxn = (o_ij) tal que o_ij = 0 para todo i, j.

Matriz Opuesta

Se llama matriz opuesta de una matriz A_mxn = (a_ij) a la matriz -A_mxn (a veces denotada como A') tal que sus elementos son (-a_ij) para todo i, j. Es decir, (-A)_ij = -a_ij.

Matriz Cuadrada

Se dice que una matriz A_mxn es cuadrada cuando el número de filas es igual al número de columnas, es decir, m = n. En este caso, se dice que la matriz es de orden n.

Operaciones con Matrices

Suma de Matrices

Dadas dos matrices A_mxn = (a_ij) y B_mxn = (b_ij) de la misma dimensión, se llama suma de A y B, denotada como A + B, a otra matriz C_mxn = (c_ij) tal que c_ij = a_ij + b_ij para todo i, j.

Propiedades de la Suma de Matrices

Sean A, B y C matrices de la misma dimensión m x n:

1. Propiedad Asociativa

(A + B) + C = A + (B + C)

Demostración:
El elemento (i,j) de (A + B) + C es (a_ij + b_ij) + c_ij.
El elemento (i,j) de A + (B + C) es a_ij + (b_ij + c_ij).
Dado que a_ij, b_ij, c_ij ∈ ℝ (números reales), y la suma en ℝ es asociativa, entonces (a_ij + b_ij) + c_ij = a_ij + (b_ij + c_ij).
Por lo tanto, (A + B) + C = A + (B + C).

2. Propiedad Conmutativa

A + B = B + A

Demostración:
El elemento (i,j) de A + B es a_ij + b_ij.
El elemento (i,j) de B + A es b_ij + a_ij.
Dado que a_ij, b_ij ∈ ℝ, y la suma en ℝ es conmutativa, entonces a_ij + b_ij = b_ij + a_ij.
Por lo tanto, A + B = B + A.

3. Existencia de Elemento Neutro (Matriz Nula)

∀ A_mxn, ∃ O_mxn (matriz nula) tal que A + O = O + A = A.

Demostración:
El elemento (i,j) de A + O es a_ij + o_ij. Como o_ij = 0 (elemento neutro de la suma en ℝ), entonces a_ij + 0 = a_ij.
Por lo tanto, el elemento (i,j) de A + O es a_ij, lo que implica A + O = A. Análogamente, O + A = A.

4. Existencia de Matriz Opuesta

∀ A_mxn, ∃ (-A)_mxn (matriz opuesta de A) tal que A + (-A) = (-A) + A = O_mxn.

Demostración:
El elemento (i,j) de A + (-A) es a_ij + (-a_ij).
Dado que a_ij ∈ ℝ, la suma a_ij + (-a_ij) = 0 (existencia de opuesto aditivo en ℝ).
Por lo tanto, el elemento (i,j) de A + (-A) es 0, lo que implica A + (-A) = O_mxn. Análogamente, (-A) + A = O_mxn.