Fundamentos y Criterios de Convergencia de Sucesiones y Series Numéricas

Sucesiones

Se llama sucesión a un conjunto de números reales tales que puede establecerse una correspondencia biunívoca entre cada uno de ellos y un número natural.

Ejemplo: 1/1; 1/2; 1/3; 1/4; … ; 1/n

• Término General o Ley de Formación (A_n): 1/n
• Dominio (DOM): Números Naturales (n = 1, 2, 3, 4, ...)
• Imagen (IMG): Números Reales (R)

Series Numéricas

Una serie numérica es una combinación de una suma donde la cantidad de términos es infinita.

Dada la sucesión de infinitos números reales (a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …), se llama serie numérica a la expresión que resulta de considerar la suma de sus infinitos términos:

Σ de (n=1 a ∞) de A_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …

Suma Parcial (S_n)

Se llama suma parcial (S_n) a la suma de los n primeros términos de la serie.

Clasificación de las Series

La clasificación se basa en el límite de la suma parcial (S_n) cuando n tiende a infinito:

1. Serie Convergente: Si el límite de la suma parcial S_n cuando n tiende a ∞ da un número real.
2. Serie Divergente: Si el límite de la suma parcial S_n cuando n tiende a ∞ es infinito.
3. Serie Oscilante: Si el límite de la suma parcial S_n cuando n tiende a ∞ no existe. Dependiendo de la serie, puede oscilar entre dos o más números.

Condición Necesaria para la Convergencia

Si una serie es convergente, es decir, si cumple que el límite de S_n cuando n tiende a ∞ es un número, entonces se verifica que el límite del término general A_n cuando n tiende a ∞ es cero.

Nota: Si el límite de A_n cuando n tiende a ∞ es cero, no podemos decir nada acerca de su convergencia.

Series Geométricas

Son aquellas series cuyos términos se calculan multiplicando el término anterior por un número constante llamado razón (q).

Ejemplo: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... (q = 1/2)

Derivación de la Suma Parcial (S_n)

La suma parcial de los n primeros términos es:

S_n = a₁ + a₁·q + a₁·q² + a₁·q³ + ... + a₁·q^n-1

1. Multiplicamos ambos miembros por q:

   q·S_n = a₁·q + a₁·q² + a₁·q³ + ... + a₁·qⁿ

2. Restamos las dos igualdades (S_n - q·S_n):

   S_n - S_n·q = a₁ - a₁·qⁿ

3. Factor común S_n:

   S_n(1 - q) = a₁ - a₁·qⁿ

4. Despejamos S_n (Fórmula de la Suma Parcial):

   S_n =   a₁ / (1-q)   -   a₁·qⁿ / (1-q)

Criterio de Convergencia de Series Geométricas

Aplicamos el límite a S_n cuando n tiende a ∞:

Límite de S_n = Límite de [a₁/(1-q)] - Límite de [a₁·qⁿ/(1-q)]

La convergencia depende del valor absoluto de la razón, |q|:

• Caso 1 (Convergente): Si |q| < 1, la serie es CONVERGENTE.
• Caso 2 (Divergente): Si |q| > 1, la serie es DIVERGENTE (el límite es ∞).
• Caso 3 (Divergente): Si |q| = 1, la serie es DIVERGENTE.
• Caso 4 (Oscilante): Si |q| = -1, la serie es OSCILANTE.

Series de Términos Positivos

Son aquellas series cuyos términos son todos positivos. Para analizar su convergencia o divergencia, es necesario aplicar cualquiera de estos criterios:

1. Criterio de D'Alembert (Criterio del Cociente)

   Si en una serie de términos positivos el límite para n tendiendo a ∞ del cociente entre un término y el anterior da menor a 1, la serie es CONVERGENTE. Si da mayor a 1, es DIVERGENTE. Nada puede asegurarse si el límite es igual a 1.

2. Criterio de la Raíz de Cauchy

   Si en una serie de términos positivos el término general A_n está afectado por una potencia n o múltiplo de n, se aplica la siguiente expresión:

   Límite cuando n → ∞ de la raíz enésima de A_n

3. Criterio de la Integral de Cauchy

   Dada una serie de términos positivos, si se cumplen las siguientes dos condiciones:

   1. Los términos de la serie son decrecientes.
   2. Existe una función f(x) tal que f(n) = A_n (es decir, cuando x=1, la función da a₁; cuando x=2, la función da a₂, y así sucesivamente).

   Entonces, se puede analizar la convergencia o divergencia de la serie resolviendo la integral impropia de dicha función.

4. Criterio de Comparación

   A la serie dada se la compara con otra serie (ya sea geométrica o de términos positivos) para establecer si se trata de una serie convergente o divergente.

   1. Dada la serie a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n. Si sus términos son respectivamente menores o iguales que los de otra serie convergente, entonces la serie dada es convergente.
   2. Dada una serie a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n. Si sus términos son respectivamente mayores o iguales que los de otra serie que sabemos que es divergente, entonces la serie es divergente.

Series Alternadas

Son aquellas series en las que sus términos son alternadamente positivos y negativos. Para analizar su convergencia se utiliza el Criterio de Leibniz.

Si en una serie alternada se cumplen dos condiciones:

• Los valores absolutos de sus términos son decrecientes.
• El límite del término general A_n cuando n tiende a ∞ tiende a cero.

Entonces, la serie es convergente.