Fundamentos Conceptuales y Algorítmicos de la Adición y Sustracción en Matemáticas

Fundamentos de la Adición y la Sustracción

Significado de la Adición

• Hay dos cantidades iniciales que se combinan dando lugar a una nueva cantidad.
• Hay una cantidad inicial que experimenta un cambio al añadirle una segunda cantidad.

Significado de la Sustracción

Hay una cantidad inicial que sufre un cambio al quitarle una segunda cantidad.

Representación de las Operaciones

Las operaciones se pueden representar de forma: manipulativa, icónica y simbólica.

Definiciones Formales

Definición Conjuntista de la Suma

Si $a$ y $b$ son dos números naturales que representan los cardinales de dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ respectivamente, la adición de $a$ y $b$ es el cardinal de la unión de $A$ y $B$:

$$a + b = \text{cardinal}(A \cup B)$$

Definición Conjuntista de la Resta

Si $a$ y $b$ son dos números naturales que representan los cardinales de dos conjuntos $A$ y $B$ respectivamente, siendo $B$ subconjunto de $A$ ($B \subset A$). La sustracción de $a$ y $b$ se define como el cardinal del conjunto diferencia $A - B$:

$$a - b = \text{cardinal}(A - B)$$

Definición de la Resta como Sumando Desconocido

Dados dos números naturales $a$ y $b$, con $a \geq b$, se define su diferencia $c$, tal que $c = a - b$, como aquel número que sumado con $b$ da como resultado $a$ ($c + b = a$).

Propiedades de la Suma

• Clausura: Si $a$ y $b$ son números naturales cualesquiera, entonces $a + b$ es un único número natural.
• Conmutativa: Si $a$ y $b$ son números naturales cualesquiera, entonces $a + b = b + a$.
• Asociativa: Si $a$, $b$ y $c$ son tres números naturales cualesquiera, entonces $a + (b + c) = (a + b) + c$.
• Elemento Neutro: Para cualquier número natural $a$ se cumple que $a + 0 = 0 + a = a$.

Propiedades de la Resta

La resta no verifica las propiedades de clausura, conmutativa ni asociativa en el conjunto de los números naturales.

Verifica las siguientes propiedades:

1. Cualesquiera que sean los números $a$, $b$, $c$, si $a \geq b$ entonces: $$a - b = (a + c) - (b + c)$$
2. Siempre que $a \geq b \geq c$, entonces: $$a - b = (a - c) - (b - c)$$

Técnicas de Cálculo de Sumas y Restas

Cálculo Escrito: Los Algoritmos

Un algoritmo es una serie finita de reglas a aplicar en un determinado orden para llegar con certeza a un resultado. Llamamos algoritmos estándar a los que se suelen utilizar en nuestro sistema educativo.

Algoritmo Estándar de la Suma

Las reglas que constituyen el algoritmo de la suma para dos o más sumandos son:

• Se escriben los sumandos uno debajo de otro de manera que las unidades de un mismo orden de los diferentes números queden situadas en la misma columna.
• Se traza una raya horizontal debajo del último sumando.
• Se suman las cifras que se encuentran en la columna de la derecha (columna de las unidades).
• Si el resultado de la suma es menor que 10, se escribe en dicha columna debajo de la raya y se pasa a sumar la columna siguiente.
• Si el resultado de la suma es mayor o igual que 10, se escriben las unidades en la columna y la cifra de las decenas se añade (se"llev") a la suma de la columna siguiente.
• Se continúa el procedimiento hasta llegar a la última columna. El resultado de sumar la última columna se escribe íntegro debajo de la raya.
• El número que aparece bajo la raya es la suma de dichos sumandos.

Algoritmo Estándar de la Resta (Método de "Llevo una")

Las reglas que constituyen el algoritmo de la resta de "llevo una" son:

• Se escribe el minuendo y debajo el sustraendo de manera que las unidades de un mismo orden de los dos números queden situadas en la misma columna.
• Se traza una raya horizontal debajo del sustraendo.
• En la columna de la derecha (unidades), si la cifra del minuendo es mayor o igual que la del sustraendo, se restan y el resultado se escribe en dicha columna debajo de la raya. Se pasa a restar las cifras de la columna siguiente.
• Si la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo, se le suman a la primera diez unidades (se "pide prestado" a la columna siguiente), se efectúa la resta, se escribe el resultado en dicha columna debajo de la raya y se aumenta en una unidad la cifra del sustraendo situada en la columna siguiente (se "devuelve" el préstamo). Se pasa a restar las cifras de la columna siguiente.
• Se continúa el procedimiento hasta llegar a la última columna.
• El número que aparece debajo de la raya es la resta de los dos números dados.