Fundamentos de Combinatoria y Teorema del Binomio: Conceptos Esenciales
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Cálculo Combinatorio: Principios Fundamentales
Principio de Multiplicación
Supongamos que existe m maneras de realizar t1, y además n maneras de realizar t2. Esto implica que existen m × n maneras de realizar t1, seguida de t2.
Conceptos Clave de Combinatoria
Definición de Combinatoria
La Combinatoria es el estudio de la forma de agrupar elementos y obtener distintos subgrupos. Comprende variaciones, permutaciones y combinaciones, con o sin repetición.
Variaciones
Dado un conjunto de m elementos, se llama variación simple de clase m y orden n (siendo n < m) a los distintos subgrupos que se pueden formar, de n elementos de los m dados, tal que cada uno de los subgrupos difiere del otro en algún elemento o en el orden en que han sido dados. Importa el orden.
Casos típicos: números, letras, cargos, ubicación física.
La fórmula para las variaciones simples es: Vm,n = m! / (m-n)!
Combinaciones
Dado un conjunto de m elementos, se llama combinación simple de clase m y orden n (siendo n < m) a los distintos subgrupos que se pueden formar de n elementos de los m dados, tal que un grupo difiere del otro por tener algún elemento diferente. No importa el orden.
La fórmula para las combinaciones simples es: Cm,n = m! / (n!(m-n)!)
Permutaciones
Dado un conjunto de m elementos, se llama permutación simple de orden m a cada uno de los conjuntos que se pueden formar de los m elementos dados, diferentemente ordenados.
En consecuencia, en las permutaciones n = m, o sea, intervienen todos los elementos y, por consiguiente, dos permutaciones cualesquiera se diferencian entre sí solamente por el orden de sus elementos.
La fórmula para las permutaciones simples es: Pm = Vm,m = m!
Resumen para la Elección de Técnicas Combinatorias
- ¿Intervienen todos los elementos?
- Sí: Permutaciones
- No: Pasar a la siguiente pregunta
- ¿Importa el orden?
- Sí: Variaciones
- No: Combinaciones
Combinatoria con Repetición
En este tipo de combinatoria, la condición n > m es posible, lo que significa que el número de elementos a elegir (n) puede ser mayor que el número total de elementos disponibles (m), ya que se permite la repetición.
Variaciones con Repetición
En las variaciones con repetición, importa el orden y los elementos pueden repetirse.
La fórmula es: VRm,n = mn
Permutaciones con Repetición (de un Multiconjunto)
Las permutaciones con repetición se refieren a la ordenación de un conjunto de n elementos donde algunos de ellos están repetidos.
La fórmula general es: Pnk1, k2, ..., kr = n! / (k1! × k2! × ... × kr!), donde n es el número total de elementos y ki es el número de veces que se repite cada elemento distinto.
Combinaciones con Repetición
En las combinaciones con repetición, no importa el orden y los elementos pueden repetirse.
La fórmula es: CRm,n = C(m+n-1, n)
Tipos de Combinatoria: Simultánea y Sucesiva
Combinatoria Simultánea
Se refiere a situaciones en las que se combinan un grupo de elementos al mismo tiempo que otro grupo de elementos.
Combinatoria Sucesiva (o Excluyente)
Es el caso cuando se pueden agrupar los elementos de una manera u otra. Por esta razón, son excluyentes y se suman todas las posibilidades.
Número Combinatorio
Dados m y n no negativos y enteros, tal que m ≥ n, se llama número combinatorio, cuya expresión es C(m,n) o (mn) (leído "m sobre n"), de numerador m y de orden n, al cociente del factorial del numerador dividido por el factorial del orden, multiplicado por el factorial de la diferencia entre el numerador y el orden.
La fórmula es: C(m,n) = m! / (n! * (m-n)!)
Propiedades del Número Combinatorio
- Todo número combinatorio de orden 0 vale 1: C(m,0) = 1.
- Todo número combinatorio de orden 1 es igual al numerador: C(m,1) = m.
- Todo número combinatorio de orden igual al numerador vale 1: C(m,m) = 1.
- Los números combinatorios complementarios son aquellos números cuyo numerador son iguales y sus órdenes sumados son igual al numerador: C(m,n) = C(m, m-n).
El Binomio de Newton
Los números combinatorios aparecen en el desarrollo del Binomio de Newton.
Características del Desarrollo del Binomio
- Cada término del binomio está compuesto por un número combinatorio, una potencia de x y una potencia de y.
- El binomio (x+y)n tiene n+1 términos.
- Las potencias de x son consecutivas y decrecientes desde n hasta 0.
- Las potencias de y son consecutivas y crecientes desde 0 hasta n.
- Las potencias de x e y sumadas en cada término deben ser igual a n.
Fórmula del Término General del Binomio de Newton
El término general (o término k-ésimo, si se empieza a contar desde k=1) del desarrollo del binomio (x+y)n es:
Tk = C(n, k-1) * x(n-k+1) * y(k-1)
Donde C(n, k-1) representa el número combinatorio "n sobre k-1".