Fundamentos Clave de Números Complejos y Propiedades de Funciones

Números Complejos: Conceptos y Operaciones

La unidad imaginaria i se define como: i² = -1, lo que implica que i = √-1.

Las potencias de i siguen un ciclo de cuatro:

• i⁰ = 1
• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1

En general, para cualquier entero n:

• i⁴ⁿ = 1
• i^(4n+1) = i
• i^(4n+2) = -1
• i^(4n+3) = -i

Conjugado y Opuesto de Números Complejos

Opuesto

El opuesto de un número complejo z = a + bi es -z = -a - bi. Se cambian los signos de ambas partes (real e imaginaria).

Conjugado

El conjugado de un número complejo z = a + bi se denota como z̄ = a - bi. Se cambia únicamente el signo de la parte imaginaria.

Representación Gráfica de Números Complejos

En el plano complejo, el eje real corresponde al eje horizontal y el eje imaginario al eje vertical.

Resolución de Ecuaciones con Números Complejos

Ejemplo: √-16 = √16 • √-1 = 4i.

La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

Operaciones con Números Complejos en Forma Binómica

• Sumas y Restas

  Se suman o restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.

• Multiplicación

  Se multiplican como binomios, recordando que i² = -1: (a + bi) • (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

• Potencias de i

  Las potencias de i siguen un ciclo de cuatro: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1. Para potencias mayores, se divide el exponente entre 4 y se usa el resto como nuevo exponente.

• Potencias de un Número Complejo

  Para potencias de un número complejo en forma binómica, se puede usar el binomio de Newton (o"pirámid" de Pascal para los coeficientes): (a + bi)³ = a³ + 3a²(bi) + 3a(bi)² + (bi)³.

• División

  Para dividir dos números complejos, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: z/w = (z • w̄) / (w • w̄).

Números Complejos en Forma Polar

El módulo de un número complejo z = a + bi es |z| = √(a² + b²).

El argumento (ángulo) θ se calcula como tan(θ) = b/a, por lo tanto, θ = arctan(b/a) (considerando el cuadrante correcto).

Un número complejo en forma polar se representa como z = |z|_θ o z = r_θ, donde r es el módulo y θ el argumento.

Conversión de Forma Polar a Forma Binómica

Dada la forma polar z = r_θ:

• La parte real es a = r • cos(θ).
• La parte imaginaria es b = r • sen(θ).

Así, el número complejo en forma binómica es z = r • cos(θ) + r • sen(θ)i.

Operaciones con Números Complejos en Forma Polar

Multiplicación

Para multiplicar z = r_θ y w = r'_θ': z • w = (r • r')_{(θ + θ')}. Se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

Potencia (Fórmula de De Moivre)

Para elevar un número complejo a una potencia n: (r_θ)ⁿ = (rⁿ)_(nθ). Se eleva el módulo a la potencia y se multiplica el argumento por la potencia.

División

Para dividir z = r_θ y w = r'_θ': z / w = (r / r')_{(θ - θ')}. Se dividen los módulos y se restan los argumentos.

Forma Trigonométrica de Números Complejos

La forma trigonométrica de un número complejo es Z = |z| • (cos(θ) + i • sen(θ)).

Forma Binómica de Números Complejos

La forma binómica de un número complejo es Z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

Forma Polar de Números Complejos

La forma polar de un número complejo es Z = |z|_θ o Z = r_θ.

Propiedades Fundamentales de las Funciones Matemáticas

Dominio de una Función

El dominio de una función f(x) es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida (valores posibles en el eje X).

Imagen (Rango) de una Función

La imagen (o rango) de una función f(x) es el conjunto de todos los valores que la función puede tomar (valores resultantes en el eje Y).

Cálculo del Dominio de Funciones Algebraicas

• Funciones Polinómicas

  Para una función polinómica, el dominio es el conjunto de todos los números reales: Dom(f) = ℝ. No hay restricciones (no hay divisiones por cero ni raíces pares de números negativos).

• Funciones Racionales

  Son funciones de la forma f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. El dominio excluye los valores de x que hacen que el denominador sea cero: Q(x) ≠ 0.

• Funciones Irracionales

  Son funciones que involucran raíces, de la forma f(x) = ⁿ√g(x).

  • Si n es impar

    El dominio es el mismo que el dominio de g(x), ya que se pueden calcular raíces impares de números negativos.

  • Si n es par

    El radicando g(x) debe ser mayor o igual que cero: g(x) ≥ 0. Esto a menudo implica resolver una inecuación.

• Funciones Exponenciales

  Para una función exponencial f(x) = a^(g(x)) (con a > 0, a ≠ 1), el dominio de f es el mismo que el dominio del exponente g(x): Dom(f) = Dom(g).

• Funciones Logarítmicas

  Para una función logarítmica f(x) = log_a(g(x)), el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo: g(x) > 0.

• Funciones Trigonométricas

  • Función Seno

    Para f(x) = sen(g(x)), el dominio de f es el mismo que el dominio de g(x): Dom(f) = Dom(g).

  • Función Coseno

    Para f(x) = cos(g(x)), el dominio de f es el mismo que el dominio de g(x): Dom(f) = Dom(g).

  • Función Tangente

    Para f(x) = tan(g(x)), el dominio de f excluye los valores de x donde g(x) es un múltiplo impar de π/2 (o 90°): Dom(f) = {x ∈ ℝ | g(x) ≠ (2k+1) • π/2, donde k ∈ ℤ}.

Estudio Gráfico de Funciones

• Dominio e Imagen

  Identificación visual del conjunto de valores de entrada (dominio) y salida (imagen) de la función.

• Monotonía

  Determinación de los intervalos donde la función es creciente o decreciente.

• Puntos de Corte con los Ejes

  Intersecciones de la gráfica con el eje X (raíces) y el eje Y (ordenada al origen).

• Extremos Relativos (Máximos y Mínimos Locales)

  Identificación de los puntos donde la función cambia de monotonía (picos y valles).

• Acotación

  Determinación si la función está acotada superior o inferiormente.

• Supremo e Ínfimo

  El supremo es la menor de las cotas superiores y el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores.

• Extremos Absolutos (Máximos y Mínimos Globales)

  Los valores más altos y más bajos que la función alcanza en todo su dominio.

• Simetría

  Clasificación de la función como par, impar o sin simetría.

• Periodicidad

  Determinación si la función repite su patrón a intervalos regulares.

Estudio de Simetría de una Función a partir de su Expresión Algebraica

Una función f(x) es:

• Par si f(-x) = f(x) para todo x en su dominio (simetría respecto al eje Y).
• Impar si f(-x) = -f(x) para todo x en su dominio (simetría respecto al origen).

Operaciones Básicas con Funciones

• Suma de Funciones

  (f + g)(x) = f(x) + g(x)

• Resta de Funciones

  (f - g)(x) = f(x) - g(x)

• Multiplicación de Funciones

  (f • g)(x) = f(x) • g(x)

• División de Funciones

  (f / g)(x) = f(x) / g(x), siempre que g(x) ≠ 0.

Composición de Funciones

La composición de funciones f y g se denota como (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Implica aplicar la función g primero y luego la función f al resultado.

Funciones Simples y Compuestas

Función Simple

Una función se considera simple cuando su expresión no contiene otra función anidada. Su dominio se determina directamente de su forma.

Función Compuesta

Una función es compuesta cuando una función está anidada dentro de otra, es decir, f(x) = F(G(x)). Para determinar su dominio, se deben considerar las restricciones tanto de la función interna G(x) como de la función externa F(x) aplicada a G(x).

Función Inversa

1. Se reemplaza f(x) por y: y = f(x).
2. Se despeja x en términos de y.
3. Se intercambian x por y, y y por f⁻¹(x), obteniendo la expresión de la función inversa.