Fundamentos Clave del Cálculo Diferencial y Aplicaciones Financieras

Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial

Teorema de Rolle

Hipótesis:

• $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$.
• $f$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$.
• $f(a) = f(b)$.

Tesis: Existe al menos un punto $c$ que pertenece al intervalo abierto $(a, b)$ tal que la derivada de $c$ es igual a cero, es decir, $f'(c) = 0$.

Interpretación Gráfica

• Caso 1: Si $M = m = f(a) = f(b)$, la función es constante. La derivada es $f'(x) = k = 0$, lo cual se cumple para todo $x$.
• Caso 2: Si $m \neq M$:

1. $m \neq M$.
2. $m < M$.
3. $f(a) \neq m$ (asumiendo que $m$ y $M$ son el mínimo y máximo absoluto, respectivamente).
4. Si $f(c) = m$, entonces existe un entorno $E(c, \delta)$ tal que $a < c < b$.
5. Para todo $x$ que pertenece a $E(c, \delta)$, se cumple que $f(x) > f(c)$.

Teorema de Lagrange (o del Valor Medio)

Hipótesis:

• $f$ es continua en $[a, b]$.
• $f$ es derivable en $(a, b)$.

Tesis: Existe un punto $c$ que pertenece al intervalo abierto $(a, b)$ tal que:

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Interpretación Geométrica

1. La expresión $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ representa la pendiente de la recta secante que une los puntos $A(a, f(a))$ y $B(b, f(b))$.
2. $f'(c)$ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $c$.
3. Existe un punto $c$ en $(a, b)$ donde la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por $A$ y $B$ (tienen el mismo coeficiente angular).

Teorema de L'Hôpital

Se aplica para resolver límites indeterminados de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Hipótesis: Sean $f$ y $g$ funciones continuas en $x=a$.

• $f(a) = g(a) = 0$ (o ambos tienden a $\pm \infty$).
• $g(x) \neq 0$ para todo $x$ perteneciente a un entorno reducido $E^*(a, \delta)$.
• Existe el límite del cociente de sus derivadas: $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Tesis:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Concavidad y la Segunda Derivada

Lemas Relacionados con el Signo de una Función

Estos lemas establecen relaciones entre el signo de una función y el signo de su derivada en un punto.

Lema 1: Si $W(x)$ es continua en $x=a$, derivable en $x=a$, y $W'(a) > 0$, entonces $W(x)$ es estrictamente creciente en un entorno $E(a, \delta)$.

Lema 2: Si $g(x)$ es continua en $x=a$, derivable en $x=a$, y $g(a) = 0$. El signo de $g(x)$ en $E(a, \delta)$ está determinado por el signo de $g'(a)$ (si $g'(a) \neq 0$).

Teorema de Relación entre Segunda Derivada y Concavidad

Hipótesis: $f(x)$ sea continua y derivable al menos dos veces en $x=a$.

Tesis: El signo de la segunda derivada, $f''(x)$, y la concavidad de la función en ese punto tienen el mismo signo.

Definición de Concavidad

• Concavidad Positiva (Convexa): Para todo $x$ que pertenece a un entorno $E(a, \delta)$, se cumple que $f(x) \geq t(x)$, siendo $t(x)$ la recta tangente a $f(x)$ por el punto $A(a, f(a))$.
• Concavidad Negativa (Cóncava): Para todo $x$ que pertenece a un entorno $E(a, \delta)$, se cumple que $f(x) \leq t(x)$, siendo $t(x)$ la recta tangente a $f(x)$ por el punto $A(a, f(a))$.

Asintotas de Funciones

Una asíntota es una recta tal que la distancia entre un punto de la función y la recta tiende a cero cuando el punto se aleja indefinidamente o se acerca a un valor específico.

Tipos de Asíntotas

• Asíntota Vertical: Ocurre en $x=a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$.
• Asíntota Horizontal: Ocurre en $y=b$ si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$.
• Asíntota Oblicua: Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty$, puede existir una recta $y = mx + p$ (con $m \neq 0$) tal que $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (mx + p)] = 0$. Si esto se cumple, existe una asíntota oblicua.

Cálculo de Parámetros de Asíntotas Oblicuas

Teorema de Cálculo de $p$

Hipótesis: $y = mx + p$ es una asíntota de la representación gráfica de $f(x)$ cuando $x \to \pm \infty$.

Tesis: $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - mx] = p$.

Demostración: Si $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (mx + p)] = 0$, entonces $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) - mx - p = 0$. Por propiedades de límites, $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) - mx = \lim_{x \to \pm \infty} p = p$. Por lo tanto, $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) - mx = p$.

Teorema de Cálculo de $m$

Hipótesis: $y = mx + p$ es una asíntota de la representación gráfica de $f(x)$ cuando $x \to \pm \infty$.

Tesis: $m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$.

Demostración: Partiendo de la definición de $p$: $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - mx - p] = 0$. Dividiendo por $x$ (asumiendo $x \neq 0$): $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x) - mx - p}{x} = 0$. Esto implica $\lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{f(x)}{x} - m - \frac{p}{x} \right) = 0$. Como $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{p}{x} = 0$, tenemos $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} - m = 0$, lo que resulta en $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = m$.

Conceptos de Matemáticas Financieras

Interés

Es la cantidad de dinero que produce otra cantidad de dinero bajo ciertas circunstancias.

• Interés Simple: El interés se calcula únicamente sobre el capital inicial y se retira al final del periodo.
• Interés Compuesto: El interés generado se acumula al capital inicial, generando intereses sobre intereses en periodos subsecuentes.

Fórmulas de Interés

• Interés Simple ($I$): $I = C \cdot i \cdot t$ (Capital $\cdot$ tasa $\cdot$ tiempo).
• Monto con Interés Compuesto ($M$): $M = C + I$. Sustituyendo $I$: $M = C + C i t$ (Incorrecto para compuesto, es para simple).
• Fórmula Correcta de Monto Compuesto: $M = C(1 + i)^n$, donde $n$ es el número de periodos.
• Interés Continuo: Se obtiene como el límite de la fórmula compuesta cuando el número de capitalizaciones tiende a infinito. El límite $\lim_{x \to \pm \infty} (1 + i/x)^x = e^i$. Por lo tanto, el Monto es $M = C e^{it}$ (usando $t$ como tiempo o $n$ como periodos). La expresión presentada $M = e^i$ parece incompleta o referida a un caso específico donde $C=1$ y $t=1$.

Nota: La sección sobre el cálculo del valor máximo de una función ($C$ cálculo de valor máximo de una función) parece estar fuera de contexto en este apartado financiero.

Tasas Equivalentes

Permite convertir una tasa de interés efectiva a otra tasa efectiva con diferente periodo de capitalización.

Si se tiene una tasa $i$ capitalizable $n$ veces al año, la tasa efectiva anual $i'$ se calcula:

$$(1 + i') = (1 + i)^n$$ $$i' = \sqrt[n]{1 + i} - 1$$

La respuesta "Resp: 100 . i'" es ambigua y probablemente incompleta o errónea en el contexto de la fórmula anterior.

Formación de un Capital

Se refiere al cálculo del monto acumulado mediante depósitos periódicos.

Definición: Cantidad de dinero que me comprometo a depositar ($k$) en intervalos de tiempo iguales ($n$). Me otorgan una tasa preferencial constante ($i$) en cada periodo.

Fórmula del Monto Futuro de una Anualidad (Depósitos):

$$k \left[ \frac{(1+i)((1+i)^n - 1)}{i} \right]$$

Amortizaciones (Deuda)

Se refiere al cálculo de la cuota constante necesaria para saldar una deuda.

Definición: Dinero ($C$, capital o deuda inicial) que pagaré en cuotas ($k$) iguales, constantes y consecutivas durante un periodo de tiempo ($n$) a una tasa preferencial ($i$) por periodo.

Condición de Saldo Cero al Final del Periodo: El valor futuro del capital inicial menos el valor futuro de las cuotas pagadas debe ser cero.

$$C(1+i)^n - k \left[ \frac{(1+i)((1+i)^n - 1)}{i} \right] = 0$$