Fundamentos de Circuitos Eléctricos: Cálculo, Leyes y Resonancia RLC
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Cuestionario y Problemas de Circuitos Eléctricos
A continuación, se presentan una serie de preguntas y problemas relacionados con los fundamentos de los circuitos eléctricos, la inductancia, la capacitancia y la resonancia.
1. Análisis de Circuito RLC Serie
Dado el circuito anterior (se asume un circuito RLC serie con los valores de R, XL y XC implícitos en la resolución), hallar el valor complejo eficaz de la tensión del generador. Calcular la impedancia (Z), la corriente (I), y las tensiones en la resistencia (VR), la bobina (VL) y el capacitor (VC). Determinar los valores de inductancia (L) y capacitancia (C). Dibujar el diagrama fasorial de tensiones, verificando que la tensión total es la suma de todos los fasores. ¿A qué se llama ángulo de desfase (φ)? (Es el ángulo de desfase entre la tensión total y la corriente).
2. Ley de Faraday
Enunciar la ley de Faraday.
3. Definición de Inductancia
¿A qué se denomina inductancia?
4. Ley de Lenz
Enunciar la ley de Lenz.
5. Tensión en una Bobina con Corriente Constante
Se tiene una bobina de 100 mH. Se le aplica una corriente constante de 3 A. ¿Qué tensión existirá entre sus extremos? Justificar la respuesta.
6. Tensión en una Bobina con Corriente Variable
Se tiene una bobina de 100 mH y se le aplica una corriente como la indicada (se asume una variación de corriente de 15 mA en 10 µs). Hallar la tensión entre bornes de la bobina.
7. Factores que Afectan la Inductancia
¿De qué depende la inductancia de la bobina?
8. Corriente en un Capacitor con Tensión Constante
Se tiene un capacitor de 10 F y se le aplica entre sus placas una tensión constante. ¿Qué corriente circula por el circuito? Justificar.
9. Corriente en un Capacitor con Rampa de Tensión
Al capacitor del punto anterior se le aplica una rampa de tensión entre sus extremos, dicha rampa tiene una pendiente de 5 V/s. ¿Qué corriente circula?
10. Definición de Resonancia
¿A qué se llama resonancia?
11. Cálculo de Capacitancia para Resonancia
Se tiene un circuito RLC serie, donde la bobina es de 100 mH. Se desea, por medio del capacitor, conseguir la resonancia a la frecuencia de 1 MHz. ¿Qué valor deberá tener el capacitor?
Resolución Detallada de los Problemas
1. Resolución del Circuito RLC Serie
Datos Implícitos del Circuito:
- Resistencia (R) = 10 Ω
- Reactancia Inductiva (XL) = 20 Ω
- Reactancia Capacitiva (XC) = 40 Ω
- Tensión del Generador (V) = 100 V ∠ 0°
Cálculo de la Impedancia Total (Z)
La impedancia total en un circuito RLC serie se calcula como Z = R + j(XL - XC).
Z = 10 Ω + j(20 Ω - 40 Ω)
Z = 10 Ω - j20 Ω
Para convertir a forma polar:
|Z| = √(102 + (-20)2) = √(100 + 400) = √500 ≈ 22.36 Ω
φZ = arctan(-20/10) = arctan(-2) ≈ -63.43°
Por lo tanto, Z ≈ 22.36 Ω ∠ -63.43°
Cálculo de la Corriente Total (I)
La corriente se calcula usando la Ley de Ohm para circuitos de CA: I = V / Z.
I = (100 V ∠ 0°) / (22.36 Ω ∠ -63.43°)
|I| = 100 / 22.36 ≈ 4.47 A
φI = 0° - (-63.43°) = 63.43°
Por lo tanto, I ≈ 4.47 A ∠ 63.43°
Cálculo de las Tensiones en los Componentes
- Tensión en la Resistencia (VR): VR = I ⋅ R
VR = (4.47 A ∠ 63.43°) ⋅ (10 Ω ∠ 0°)
VR = 44.7 V ∠ 63.43°
Tensión en la Bobina (VL): VL = I ⋅ XL (donde XL tiene un ángulo de +90°)VL = (4.47 A ∠ 63.43°) ⋅ (20 Ω ∠ 90°)
VL = 89.4 V ∠ (63.43° + 90°)
VL = 89.4 V ∠ 153.43°
Tensión en el Capacitor (VC): VC = I ⋅ XC (donde XC tiene un ángulo de -90°)VC = (4.47 A ∠ 63.43°) ⋅ (40 Ω ∠ -90°)
VC = 178.8 V ∠ (63.43° - 90°)
VC = 178.8 V ∠ -26.57°
Cálculo de Inductancia (L) y Capacitancia (C)
Para calcular L y C a partir de XL y XC, es necesario conocer la frecuencia angular (ω) o la frecuencia (f) del generador. Dado que no se especifica, asumiremos que los valores de XL y XC son los que resultan de una frecuencia particular. Sin esta información, L y C no pueden ser calculados de forma única.
Si se conociera la frecuencia (f), entonces:
- XL = ωL = 2πfL ⇒ L = XL / (2πf)
- XC = 1 / (ωC) = 1 / (2πfC) ⇒ C = 1 / (2πfXC)
Diagrama Fasorial de Tensiones
El diagrama fasorial se dibujaría colocando los fasores VR, VL y VC en el plano complejo. La suma vectorial de estos fasores (VR + VL + VC) debe ser igual a la tensión total del generador (V).
Vtotal = VR + VL + VC
Vtotal = (44.7 V ∠ 63.43°) + (89.4 V ∠ 153.43°) + (178.8 V ∠ -26.57°)
Al convertir a forma rectangular y sumar, se verificaría que la suma es aproximadamente 100 V ∠ 0°.
2. Ley de Faraday
La Ley de Inducción Electromagnética de Faraday establece que la magnitud de la fuerza electromotriz (FEM) inducida en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con la que cambia el flujo magnético (Φ) a través de cualquier superficie limitada por el circuito. Matemáticamente, se expresa como:
VL = -N (dΦ/dt)
Donde N es el número de espiras de la bobina y dΦ/dt es la tasa de cambio del flujo magnético. En el contexto de una bobina, si el flujo magnético no cambia (es constante), la tensión inducida (VL) en sus extremos será cero. Esto implica que para que haya tensión en una bobina, debe haber una variación del flujo magnético que la atraviesa, lo cual, en el caso de un inductor, se debe a una variación de la corriente que circula por ella (VL = L ⋅ dI/dt).
3. Inductancia
La inductancia (L) es una propiedad de los componentes eléctricos (especialmente las bobinas o inductores) que mide su capacidad para almacenar energía en forma de campo magnético cuando una corriente eléctrica fluye a través de ellos. Se define como la relación entre el flujo magnético (Φ) que atraviesa un circuito y la corriente (I) que lo produce (L = NΦ/I). La unidad de medida de la inductancia en el Sistema Internacional es el Henry (H). El inductor es un componente que se opone a los cambios en la corriente, mientras que el capacitor se opone a los cambios en la tensión; en ciertos circuitos, sus efectos pueden cancelarse mutuamente (resonancia).
4. Ley de Lenz
La Ley de Lenz es una extensión de la Ley de Faraday que especifica la dirección de la fuerza electromotriz (FEM) inducida. Establece que la dirección de la corriente inducida (y, por lo tanto, de la FEM inducida) es tal que se opone a la causa que la produce. En el caso de una bobina, si la corriente que la atraviesa aumenta, la tensión inducida (VL) generará un campo magnético que se opone a este aumento. Si la corriente disminuye, la tensión inducida generará un campo magnético que intenta mantener la corriente, oponiéndose a su disminución.
5. Tensión en una Bobina con Corriente Constante
La tensión en los extremos de una bobina se rige por la relación VL = L ⋅ (dI/dt). Si se aplica una corriente constante (3 A) a una bobina de 100 mH, la tasa de cambio de la corriente (dI/dt) es cero, ya que la corriente no varía.
VL = 100 mH ⋅ (0 A/s) = 0 V
Por lo tanto, no existirá tensión entre los extremos de la bobina porque la corriente no varía.
6. Tensión en una Bobina con Corriente Variable
Se tiene una bobina de 100 mH (0.1 H). Se asume que la "corriente como la indicada" se refiere a una variación de corriente (ΔI) de 15 mA (0.015 A) en un tiempo (Δt) de 10 µs (10 × 10-6 s).
La tasa de cambio de la corriente es dI/dt = ΔI / Δt.
dI/dt = 0.015 A / (10 × 10-6 s) = 1500 A/s
La tensión entre los bornes de la bobina es VL = L ⋅ (dI/dt).
VL = (0.1 H) ⋅ (1500 A/s)
VL = 150 V
7. Factores que Afectan la Inductancia
La inductancia de una bobina depende de varios factores geométricos y del material del núcleo:
- Número de vueltas (N): La inductancia es proporcional al cuadrado del número de vueltas.
- Área de la sección transversal (A): La inductancia es directamente proporcional al área de la sección transversal del núcleo.
- Longitud de la bobina (l): La inductancia es inversamente proporcional a la longitud de la bobina.
- Permeabilidad magnética del núcleo (μ): La inductancia es directamente proporcional a la permeabilidad magnética del material del núcleo (μ = μrμ0), siendo μr la permeabilidad relativa y μ0 la permeabilidad del vacío.
8. Corriente en un Capacitor con Tensión Constante
La corriente a través de un capacitor se rige por la relación IC = C ⋅ (dV/dt). Si se aplica una tensión constante a un capacitor de 10 F, la tasa de cambio de la tensión (dV/dt) es cero, ya que la tensión no varía.
IC = 10 F ⋅ (0 V/s) = 0 A
Por lo tanto, no hay circulación de corriente por el circuito porque la tensión es constante (continua). Un capacitor se comporta como un circuito abierto en corriente continua una vez que está completamente cargado.
9. Corriente en un Capacitor con Rampa de Tensión
Se tiene un capacitor de 10 F y se le aplica una rampa de tensión con una pendiente de 5 V/s. Esto significa que dV/dt = 5 V/s.
La corriente que circula es IC = C ⋅ (dV/dt).
IC = 10 F ⋅ (5 V/s)
IC = 50 A
10. Resonancia
La resonancia en un circuito RLC (Resistencia-Inductancia-Capacitancia) se produce cuando la reactancia inductiva (XL) es igual en magnitud a la reactancia capacitiva (XC). En este punto, los efectos de la inductancia y la capacitancia se cancelan mutuamente, y la impedancia total del circuito es puramente resistiva (Z = R). Esto significa que la corriente y la tensión están en fase, y el circuito presenta su máxima o mínima impedancia, dependiendo de si es un circuito serie o paralelo, respectivamente. La condición de resonancia se expresa como |XL| = |XC|, es decir, ωL = 1/(ωC).
11. Cálculo de Capacitancia para Resonancia
Para un circuito RLC serie, la frecuencia de resonancia (f0) se calcula con la fórmula:
f0 = 1 / (2π√(LC))
Se desea que la frecuencia de resonancia sea f0 = 1 MHz = 1 × 106 Hz.
La inductancia de la bobina es L = 100 mH = 0.1 H.
Despejamos C de la fórmula de resonancia:
(2πf0)2 = 1 / (LC)
C = 1 / ((2πf0)2L)
C = 1 / ((2π × 1 × 106 Hz)2 × 0.1 H)
C = 1 / ((6.283185 × 106)2 × 0.1)
C = 1 / (39.4784176 × 1012 × 0.1)
C = 1 / (3.94784176 × 1012)
C ≈ 2.533 × 10-13 F
Por lo tanto, el valor del capacitor deberá ser aproximadamente 0.253 pF (picofaradios) para lograr la resonancia a 1 MHz.