Fundamentos del Centro de Masas y Dinámica del Sólido Rígido
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Centro de Masas (CM)
El centro de masas (CM) de una partícula define la posición geométrica donde se concentra la masa de todo el sistema.
La distribución de masa en el sistema puede ser:
- Discreta: La masa de las partículas es diferente.
- Continua: La masa de todas las partículas es uniforme.
El centro de masas indica una posición promedio, por lo tanto, no necesita tener masa física en dicho punto.
Dinámica del Centro de Masas
Como las posiciones de las partículas son variables, la posición del CM también depende de la posición. Se definen las siguientes relaciones:
- Velocidad del CM: VCM = dRCM/dt
- Momento lineal: P = M · VCM
- Segunda Ley de Newton para sistemas: Fext = M · ACM
El sistema se mueve como una sola partícula cuya masa es la masa total del sistema (M) y depende de la fuerza resultante externa. Al conocer la posición inicial, la velocidad y las fuerzas externas, podemos determinar la posición del CM en cualquier intervalo de tiempo.
Dinámica del Sólido Rígido alrededor de un Eje Fijo
Momento de Inercia
Considerando el eje Z como un eje de rotación fijo, tomamos un elemento infinitesimal arbitrario de masa dm del sistema. Si r es el vector de posición respecto al eje, describimos un círculo alrededor del eje Z con radio ρ = r · sin(φ).
La velocidad de este elemento es V = ω · ρ. Aunque la velocidad angular (ω) es la misma en todos los puntos del sólido, el radio de cada elemento dm depende de la distancia al eje de giro.
El momento angular del elemento dm con respecto al origen O es:
dLO = r × v · dm = r · v · dm (dado que r y v son perpendiculares).
Analizando la componente z del momento angular:
- dLOz = r · v · dm · sin(φ)
- Sustituyendo ρ = r · sin(φ) y V = ω · ρ, obtenemos: dLOz = ω · ρ2 · dm
- Integrando: Lz = Iz · ω, donde Iz = ∫ ρ2 dm es el momento de inercia del sólido.
Teorema del Momento Angular
Aplicando el teorema del momento angular MO = dLO/dt, tenemos Mz = dLz/dt. Dado que para un sólido rígido Iz es invariable en el tiempo, la expresión resulta en:
Mz = Iz · α
Generalmente, existen componentes Ly y Lx perpendiculares al eje de rotación que no son nulas; esto implica que el vector momento angular (L) y el vector velocidad angular (ω) no son necesariamente paralelos. Por lo tanto, la dirección del eje debe fijarse para mantener MO ≠ 0. Si Fext = 0, entonces MO = 0 y L = constante.