Fundamentos y Cálculos Esenciales en Circuitos Eléctricos y Electrónicos

Problemas Fundamentales de Electricidad y Electrónica

1. Cálculos de Tensión Senoidal

a) Determinación del Valor Eficaz de una Tensión Senoidal

Problema: Si una tensión senoidal posee un valor de 100 V a los 40° del ciclo, hallar el valor eficaz de dicha tensión.

Resolución:

• Primero, calculamos el valor máximo (V_max) de la tensión:
• V_max = V_instantánea / sen(α) = 100 V / sen(40°)
• V_max ≈ 100 V / 0.6428 ≈ 155.57 V
• Luego, calculamos el valor eficaz (V_ef):
• V_ef = V_max / √2
• V_ef ≈ 155.57 V / 1.4142 ≈ 110.00 V

b) Cálculo del Valor Instantáneo de una Tensión Senoidal

Problema: El valor máximo de una tensión senoidal es de 300 V para una frecuencia de 60 Hz. Hallar el valor instantáneo de la tensión para un tiempo de 5 ms.

Resolución:

• Primero, calculamos el ángulo (α) en radianes:
• α = 2 * π * f * t = 2 * π * 60 Hz * 0.005 s
• α ≈ 1.885 radianes (equivalente a 108°)
• Luego, calculamos el valor instantáneo (e):
• e = V_max * sen(α) = 300 V * sen(1.885 rad)
• e ≈ 300 V * 0.951 ≈ 285.3 V

c) Determinación de la Tensión Máxima en una Línea de Transporte

Problema: Determinar la tensión máxima que deberá soportar un aislador de una línea de transporte de energía eléctrica si la tensión eficaz entre fases es de 220000 V.

Resolución:

• La relación entre la tensión eficaz (V_ef) y la tensión máxima (V_max) en una onda senoidal es:
• V_ef = V_max / √2
• Despejamos la tensión máxima:
• V_max = V_ef * √2 = 220000 V * √2
• V_max ≈ 220000 V * 1.4142 ≈ 311124 V (o aproximadamente 311.12 kV)

2. Análisis de un Circuito R-L Serie

Problema: Un circuito se conecta una resistencia pura de valor R = 20 Ω en serie con una bobina pura con un coeficiente de autoinducción igual a 50 mH. Hallar la impedancia, la intensidad, el ángulo de desfase, la caída de tensión en R y en la bobina si alimentamos el circuito con 125 V y 50 Hz. Hallar igualmente el factor de potencia y proponer una mejora a cos φ = 0.90.

Cálculos del Circuito R-L:

• Reactancia Inductiva (X_L):
• X_L = 2 * π * f * L = 2 * π * 50 Hz * 0.05 H
• X_L ≈ 15.71 Ω

• Impedancia (Z):
• Z = √(R² + X_L²) = √(20² + 15.71²)
• Z = √(400 + 246.8) = √646.8 ≈ 25.43 Ω

• Intensidad (I):
• I = V / Z = 125 V / 25.43 Ω
• I ≈ 4.91 A

• Ángulo de Desfase (φ):
• cos φ = R / Z = 20 Ω / 25.43 Ω ≈ 0.786
• φ = arccos(0.786) ≈ 38.18°

• Caída de Tensión en la Resistencia (V_R):
• V_R = I * R = 4.91 A * 20 Ω
• V_R ≈ 98.2 V

• Caída de Tensión en la Bobina (V_L):
• V_L = I * X_L = 4.91 A * 15.71 Ω
• V_L ≈ 77.1 V

Mejora del Factor de Potencia:

Para mejorar el factor de potencia a cos φ = 0.90, se debería añadir un condensador en paralelo con el circuito R-L. El valor de la reactancia capacitiva (X_C) necesaria se calcularía para compensar la reactancia inductiva y alcanzar el nuevo ángulo de desfase deseado.

3. Cálculos en un Motor Trifásico Conectado en Estrella

Problema: Un motor trifásico posee sus bobinas conectadas en estrella. Determinar la corriente eléctrica que absorberá de la línea de 400 V si desarrolla una potencia de 10 kW con un factor de potencia de 0.8. Averiguar la potencia reactiva y aparente del motor.

Cálculos del Motor Trifásico:

• Intensidad de Línea (I_L):
• La fórmula de potencia activa (P) para un sistema trifásico es: P = √3 * V_L * I_L * cos φ
• Despejamos la intensidad de línea: I_L = P / (√3 * V_L * cos φ)
• I_L = 10000 W / (√3 * 400 V * 0.8) ≈ 10000 W / 554.26 V ≈ 18.04 A

• Ángulo de Desfase (φ):
• φ = arccos(0.8) ≈ 36.87°

• Potencia Reactiva (Q):
• Q = √3 * V_L * I_L * sen(φ)
• Q = √3 * 400 V * 18.04 A * sen(36.87°) ≈ 1.732 * 400 * 18.04 * 0.6 ≈ 7488 VAR

• Potencia Aparente (S):
• S = √3 * V_L * I_L
• S = √3 * 400 V * 18.04 A ≈ 1.732 * 400 * 18.04 ≈ 12500 VA

4. Medición de la Longitud de una Bobina de Cobre

Problema: Se desea medir la longitud de una bobina de cobre sin desenrollar el conductor. Se mide con un ohmímetro conectado a los extremos de la bobina una resistencia de 1 Ω. Mediante un calibrador, medimos el diámetro del conductor, que es de 0.5 mm.

Cálculos para la Longitud de la Bobina:

• Radio del Conductor (r):
• r = diámetro / 2 = 0.5 mm / 2 = 0.25 mm

• Área de la Sección Transversal (S):
• S = π * r² = π * (0.25 mm)² = π * 0.0625 mm² ≈ 0.196 mm²

• Longitud del Conductor (L):
• La fórmula de la resistencia es R = ρ * (L / S), donde ρ es la resistividad del cobre (aproximadamente 0.0171 Ω·mm²/m a 20°C).
• Despejamos L: L = (R * S) / ρ
• L = (1 Ω * 0.196 mm²) / (0.0171 Ω·mm²/m) ≈ 11.46 m

5. Caída de Tensión y Pérdida de Potencia en una Línea de Alimentación

Problema: Un motor se alimenta a través de una línea de 50 metros. La potencia del motor es de 3 CV. El diámetro del conductor es igual a 7 mm. La tensión de alimentación es de 400 V. ¿Cuál es la caída de tensión y la pérdida de potencia en la línea?

Cálculos de la Línea de Alimentación:

• Potencia del Motor en Vatios (W):
• 1 CV = 736 W
• P_motor = 3 CV * 736 W/CV = 2208 W

• Longitud Total del Conductor (L_total):
• Considerando el viaje de ida y vuelta, la longitud total es: L_total = 50 m + 50 m = 100 m

• Área de la Sección Transversal (S):
• Radio (r) = diámetro / 2 = 7 mm / 2 = 3.5 mm
• S = π * r² = π * (3.5 mm)² = π * 12.25 mm² ≈ 38.48 mm²

• Resistencia de la Línea (R_L):
• R_L = ρ * (L_total / S)
• Utilizando ρ del cobre = 0.0171 Ω·mm²/m:
• R_L = 0.0171 Ω·mm²/m * (100 m / 38.48 mm²) ≈ 0.0444 Ω

• Corriente de la Línea (I):
• Asumiendo una carga resistiva o un factor de potencia unitario para este cálculo simplificado:
• I = P_motor / V = 2208 W / 400 V = 5.52 A

• Caída de Tensión en la Línea (ΔV):
• ΔV = R_L * I = 0.0444 Ω * 5.52 A ≈ 0.245 V

• Pérdida de Potencia en la Línea (P_RL):
• P_RL = R_L * I² = 0.0444 Ω * (5.52 A)²
• P_RL = 0.0444 Ω * 30.47 A² ≈ 1.35 W