Fundamentos del Cálculo Vectorial: Integrales Curvilíneas, Múltiples y Continuidad

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Escrito el 6 de Enero de 2026 en español con un tamaño de 6,09 KB

Integral Curvilínea: Definición y Tipos

La integral curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Integral Curvilínea en un Campo Escalar

Para f : R² → R, un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t) = x(t)i + y(t)j con t $\in$ [a, b], está definida como:

$\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\|\, dt = \int_a^b f(\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))\sqrt{[\mathbf{x}'(t)]^2+[\mathbf{y}'(t)]^2 }dt$

Integral Curvilínea en un Campo Vectorial

Para F : Rⁿ → Rⁿ un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t {\displaystyle \in } $\in$ [a, b], está definida como:

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$

Integrales Múltiples: Doble y Triple

La integral de una función positiva $f(x)$ de una variable definida en un intervalo puede interpretarse como el área entre la gráfica de la función y el eje $x$ en ese intervalo.

La doble integral de una función positiva $f(x,y)$ de dos variables, definida en una región del plano $xy$, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano $xy$ en ese intervalo.

Al realizar una integral triple de una función $f(x,y,z)$ definida en una región del espacio $xyz$, el resultado es un hipervolumen. Sin embargo, es bueno notar que si $f(x,y,z)=1$ , el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

$\iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathbf {d} x_{1}\mathbf {d} x_{2}\!\ldots \mathbf {d} x_{n}$

Concepto de Continuidad de una Función

Una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir, el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo. Esto significa un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como se ilustra en la figura.

El intervalo J de $y$ es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de $y$, tomados como $y = f(x)$. Se escribe J = f(I). Es importante notar que, en general, el rango no es igual que el codominio (solo es igual si la función en cuestión es suprayectiva).

Geometría del Diferencial

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto. Sabiendo que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de $y$) y el cateto contiguo (incremento de $x$) de un hipotético triángulo rectángulo, solo hay que despejar el incremento de $y$ que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento $\Delta x\,$ que se tome representará el alejamiento horizontal que se haga desde el punto en cuestión. Así, la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tome.

entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, solo hay que despejar el incremento de y que equivale anuestro diferencial

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