Fundamentos del Cálculo Vectorial: Derivadas e Integrales de Funciones de una Variable Real
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Cálculo DE FUNCIONES DE VALOR VECTORIALEN UNA VARIABLE REAL
Definición:
Si S es un subconjunto no vacío de los reales, entonces la función f : S?Rn se llama una función de valor vectorial de una variable real.
TEOREMA 2
Si f es una función de valor vectorial de una variable real, cuya derivada f '(t)
existe para todo t en un intervalo abierto I, y si la ||f (t)|| es constante para todo t € I , entonces f (t) y f '(t) son ortogonales para todo t € I , es decir.
f (t) . F '(t) =0 para todo t perteneciente a I
Ilustración
Sea F=(0,1)?R2 representada F(t)=(cos 2ð t , sen 2ð t) t € R
||F(t)|| = ? ( cos 2ðt)
2 + (sen 2ð t)
2
=?1 = 1 para todo t € (0,1)
Pero F'(t)=(-2ð sen2ð t, 2ð cos2ð t)
=-2ð (sen2ð t, -cos2ð t)
F(t).F'(t)=(cos2ð t , sen2ð t) . (-2ð )(sen2ð , -cos2ð t)
=-2ð (cos2ð t , sen2ð t - sen2ð t , cos2ð t)
= 0 y por ende F(t) y F'(t) son ortogonales para todo t €(0,1)
TEOREMA 5(1er teorema fundamental del cálculo)
Asumase que F es una función de valor vectorial continua en el intervalo cerrado (a,b). Si C € al intervalo cerrado (a,b) entonces se define la integral indefinida A, como la función de valor vectorial que va A:(a,bcerrado)?Rn representada por la siguiente formula
A(x)= ?
cx F(t)dt, para todo x € (a,b cerrado)
Entonces A'(x) y tenemos ademas que
A'(x)=F(x), para todo x € (a,b cerrado)
TEOREMA 6(2do teorema fundamental del cálculo)
Asumase que F es una función de valor vectorial con derivada F' continua en un intervalo abierto I, entonces para cada elección de c y x en el intervalo I, tenemos:
F(x)=F(c)+?
cx F'(t)dt
APLICACIONES A LAS CURVAS TANGENCIA
Sea I un intervalo y X:I?Rn una función de valor vectorial. Entonces R(x)=(x(t)I t€I)
el rango de X es llamado la GRAFICA de x. Si n=2, n=3, entonces podemos visualizar geométricamente la grafica de X. Por ejemplo si x(t)=P+tA, donde P y A ? 0 son vértices fijos en R3, entonces la grafica x es la recta a través de P paralela a A.
En general si X es una función continua sobre I, entonces la grafica de x, es llamada UNA CURVA, ams específicamente LA CURVA DESCRITA POR . Algunas veces decimos la CURVA DESCRITA PARAMETRICAMENTEPOR X. Usando las propiedades de la función X, podemos investigar las propiedades geométricas de su grafica. En particular la derivada (si existe)
X'(t)= lim h?0 1/h(x(t+h)-x(t))
Definición 1
Sea C la curva descrita por una función de valor vectorial X. Si la derivada X'(t) existe, y si ademas X'(t) ? 0 entonces la recta a través de X8T) y paralela a X'(t) es llamada la RECTA TANGENTE a C en x(t)