Fundamentos del Cálculo Diferencial e Integral: Derivadas y Técnicas de Integración

Conceptos Fundamentales del Cálculo: Derivada e Integral

Definición de Derivada de una Función en un Punto $x_0$

Sea una función $f$ definida al menos en un intervalo abierto $(a,b)$, y sea $x_0$ un punto perteneciente a dicho intervalo.

Sea $h$ un incremento positivo o negativo del punto $x_0$, de modo que $x_0 + h$ pertenezca también al dominio $(a,b)$.

Formamos el cociente incremental:

$$\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h}; \quad h \neq 0$$

El numerador y el denominador representan los incrementos de la variable dependiente y de la variable independiente, respectivamente. Este cociente representa la "variación media" de la función $f$ cuando $x$ varía de $x_0$ a $x_0+h$.

Cálculo de la Derivada

Luego, estudiamos el límite de dicho cociente cuando $h$ tiende a $0$. Si este límite existe y es finito, entonces se le da el nombre de derivada de la función $f$ en el punto $x_0$. Se simboliza $f'(x_0)$ y representa la "variación instantánea" de la función $f$ en el punto $x_0$:

$$f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h}; \quad h \neq 0$$

Gráfico y Ejemplo de Incremento Positivo

• La diferencia: $f(x_0+h) – f(x_0)$, representa la variación de la función $f$ cuando $x$ varía de $x_0$ a $x_0+h$.
• El cociente de diferencia: $\frac{\text{variación de } f}{h}$, representa la variación media de la función $f$ cuando $x$ varía de $x_0$ a $x_0+h$.
• Cuando $h$ tiende a cero, el diferencial de $f$ también tiende a cero, y entonces el cociente diferencial tiende a un valor $L$. Dicho $L$ representa la variación instantánea de la función $f$ en el punto $x_0$.

Técnicas de Integración

Sustitución (Cambio de Variable)

A veces se logra facilitar el cálculo de una integral complicada, $\int f(x) dx$, sustituyendo convenientemente la variable $x$ por una función de otra variable $t$: $x = Q(t)$.

Siempre que $Q(t)$ sea derivable, con derivada continua y admita función inversa:

$$x = Q(t) \iff t = Q^{-1}(x)$$

Entonces, la integral se transforma:

$$\int f(x) dx = \int f [Q(t)] d [Q(t)] = \int f [Q(t)] dt$$

Es decir:

$$\int f(x) dx = \int f[Q(t)] Q'(t) dt$$

Demostración por Diferenciación

Se realiza diferenciando ambos miembros y comprobando que los resultados son iguales:

• Diferencial del primer miembro: $d \left( \int f(x) dx \right) = f(x) dx$
• Diferencial del segundo miembro: $d \left( \int f [Q(t)] Q'(t) dt \right) = f [Q(t)] Q'(t) dt = f [Q(t)] d [Q(t)] = f(x) dx$

Cuando se aplica la fórmula de integración por sustitución, se obtiene:

$$\int f(x) dx = \int f [Q(t)] Q'(t) dt = F [Q(t)] + C$$

Comprobando la derivada de la primitiva resultante:

$$\frac{d}{dt} \left( F [Q(t)] \right) = F’ [ Q(t) ] Q’ (t) = f [Q (t) ] Q’ (t)$$

Integración por Partes

Sean $u$ y $v$ dos funciones derivables en un intervalo $I$, y sea $F(x) = u(x) \cdot v(x)$ para todo $x \in I$.

Aplicando la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones resulta:

$$F'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Integrando ambos miembros:

$$\int F'(x) dx = \int [u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)] dx$$

Teniendo en cuenta:

1. En el primer miembro: $\int F'(x) dx = F(x) + C = u(x) \cdot v(x) + C$
2. En el segundo miembro: la propiedad de la integral de una suma de funciones.

Obtenemos:

$$u(x) \cdot v(x) + C = \int u'(x) \cdot v(x) dx + \int u(x) \cdot v'(x) dx$$

Despejando una de las integrales (la que se busca resolver, por ejemplo):

$$\int u(x) \cdot v'(x) dx = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) \cdot u'(x) dx$$

Integral Indefinida y Teorema Fundamental

Definición de Integral Indefinida

Llamaremos integral indefinida de una función $f$, al conjunto formado por todas las primitivas de $f$. Se simboliza:

$$\int f(x) dx = F(x) + C$$

Donde:

• $f(x)$ es la función integrando.
• $C \in \mathbb{R}$ es la constante de integración.
• $F$ es una primitiva de $f$ (es decir, $F'(x) = f(x)$).

Teorema sobre Primitivas

Teorema: Sea $F$ una primitiva de $f$ en $(a,b)$ y sea $F$ continua en $[a,b]$. Sea además $G$ otra función continua en $[a,b]$. Entonces $G$ es otra primitiva de $f$ en $(a,b)$ si y solo si existe una constante $C$ tal que: $G(x) – F(x) = C$ para todo $x \in [a,b]$.

Prueba del Teorema

Se basa en las siguientes equivalencias:

1. $F$ es una primitiva de $f$ en $(a,b)$ si y solo si $F'(x) = f(x)$ para todo $x \in (a,b)$.
2. $G$ es otra primitiva de $f$ en $(a,b)$ si y solo si $G'(x) = f(x)$ para todo $x \in (a,b)$.

Luego, se cumple que $G'(x) = F'(x)$, o bien $G'(x) – F'(x) = 0$ para todo $x \in (a,b)$. Como hemos supuesto que $F$ y $G$ son continuas en $[a,b]$, por un teorema consecuencia del Teorema de Lagrange, resulta:

$$G(x) – F(x) = C \quad \text{o bien} \quad G(x) = F(x) + C \quad \text{para todo } x \in [a,b]$$