Conceptos Esenciales de Cálculo Diferencial

Este documento presenta un resumen conciso de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial, abarcando funciones, límites y derivadas. Es una herramienta ideal para estudiantes que buscan consolidar sus conocimientos en estas áreas clave de las matemáticas.

Función Exponencial

• Es de la forma \(f(x) = a^x\), donde \(a \neq 1\) y \(a > 0\).
• Si \(0 < a < 1\), la función es estrictamente decreciente.
• Si \(a > 1\), la función es estrictamente creciente.
• Todas las funciones exponenciales pasan por el punto \((0,1)\).
• Posee una asíntota horizontal en \(y=0\).

Ecuaciones Exponenciales

Ejemplo: \(2^x + 2^{x+1} + 2^{x+3} = 88\)

Para resolverla, se aplican las propiedades de las potencias:

\(2^x + 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^3 = 88\)

\(2^x + 2 \cdot 2^x + 8 \cdot 2^x = 88\)

Se puede realizar un cambio de variable, igualando \(2^x = t\), y resolver como una ecuación algebraica normal:

\(t + 2t + 8t = 88 \Rightarrow 11t = 88 \Rightarrow t = 8\)

Sustituyendo de nuevo \(t\) por \(2^x\):

\(2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3\).

Función Logarítmica

• Es de la forma \(f(x) = \log_a x\), donde \(a > 0\) y \(a \neq 1\).
• Pasa por el punto \((1,0)\).
• Posee una asíntota vertical en \(x=0\).
• El recorrido es \(\mathbb{R}\) (todos los números reales).
• Su dominio es \((0, +\infty)\).
• Si \(a > 1\), es estrictamente creciente. Si \(0 < a < 1\), es estrictamente decreciente.

Propiedades y Ecuaciones Logarítmicas

1. Definición: \(\log_a x = y \iff a^y = x\).
2. Suma de logaritmos: \(\log A + \log B = \log (A \cdot B)\).
3. Resta de logaritmos: \(\log A - \log B = \log (A/B)\).
4. Potencia de logaritmos: \(\log A^B = B \cdot \log A\).

Límites y Tipos de Indeterminaciones

Tipos de Indeterminaciones

Tipo \(\frac{K}{0}\) (con \(K \neq 0\))

Se resuelven calculando los límites laterales (por la izquierda y por la derecha del valor que anula el denominador).

Tipo \(\frac{\infty}{\infty}\)

Método de los infinitésimos: Consiste en eliminar todos los términos que no sean la "x" de mayor grado en el numerador y denominador.

Tipo \(\frac{0}{0}\)

• Con cociente de polinomios: Igualar a cero el numerador y el denominador, resolver las raíces y factorizar.
• Con raíces cuadradas: Multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión con raíces.

Tipo \(\infty - \infty\)

• Con raíces: Multiplicar y dividir por el conjugado.
• Con fracciones de polinomios: Operar las fracciones, simplificar y luego sustituir.

Tipo \(1^\infty\)

Se resuelve utilizando la fórmula: \(\lim_{x \to a} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [f(x) - 1] \cdot g(x)}\).

Continuidad de una Función

Una función \(f(x)\) es continua en un punto \(x=a\) si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. Existe \(f(a)\) (la función está definida en el punto).
2. Existe el límite de la función en ese punto, es decir, \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)\).
3. El valor de la función en el punto es igual al límite: \(f(a) = \lim_{x \to a} f(x)\).

Derivadas

Tasa de Variación Media (TVM)

La Tasa de Variación Media de una función \(f(x)\) en el intervalo \([a, b]\) se calcula como: \(\text{TVM} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\).

Estudio Completo de Funciones

Dominio de una Función

• Polinómicas: \(D(f) = \mathbb{R}\)
• Exponenciales: \(D(f) = \mathbb{R}\)
• Trigonométricas: \(D(f) = \mathbb{R}\) (para seno y coseno; para tangente, excluir puntos donde el coseno es cero)
• Racionales: \(D(f) = \mathbb{R} - \{\text{valores que anulan el denominador}\}\)
• Logarítmicas: \(D(f) = \{\text{intervalo donde el argumento del logaritmo es } > 0\}\)
• Radicales:
  • De orden impar: \(D(f) = \mathbb{R}\)
  • De orden par: \(D(f) = \{\text{intervalo donde el radicando es } \ge 0\}\)

Puntos de Corte con los Ejes

• Con el eje OX (eje de abscisas): Hacemos \(y=0\) y resolvemos la ecuación.
• Con el eje OY (eje de ordenadas): Hacemos \(x=0\) y resolvemos la ecuación.

Asíntotas

• Asíntota Horizontal (AH): Se calcula el límite de la función cuando \(x\) tiende a \(\pm\infty\). Si \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\) (donde \(L\) es un número finito), entonces \(y=L\) es una asíntota horizontal.
• Asíntota Vertical (AV): Se buscan los valores de \(x=a\) donde la función no está definida (por ejemplo, raíces del denominador). Si \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\), entonces \(x=a\) es una asíntota vertical.
• Asíntota Oblicua (AO): Tiene la forma \(y=mx+n\).
  • \(m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\)
  • \(n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx)\)

  Nota: Una función racional no puede tener asíntota horizontal y oblicua a la vez. Si existe AH, no hay AO.

Crecimiento y Decrecimiento (Monotonía)

Calculamos la primera derivada \(f'(x)\) y la igualamos a cero (\(f'(x)=0\)). Las soluciones de esta ecuación son los puntos críticos. Se estudia el signo de \(f'(x)\) en los intervalos definidos por estos puntos críticos.

Máximos y Mínimos Relativos

Para determinar si un punto crítico \(x_0\) es un máximo o un mínimo, calculamos la segunda derivada \(f''(x)\) y sustituimos \(x_0\) en ella:

• Si \(f''(x_0) > 0\), entonces en \(x_0\) hay un mínimo relativo (coordenadas \((x_0, f(x_0))\)).
• Si \(f''(x_0) < 0\), entonces en \(x_0\) hay un máximo relativo (coordenadas \((x_0, f(x_0))\)).

Tabla de Derivadas Comunes (Regla de la Cadena)