Fundamentos de Cálculo Diferencial: Dominio, Asíntotas, Derivadas y Extremos
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Conceptos Fundamentales del Cálculo Diferencial
Dominio de una Función
El dominio de una función $f(x)$ es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales la función está definida.
- Si la función es un polinomio (sin fracciones ni raíces pares), el dominio es $\mathbb{R}$ (todos los números reales).
- Si la función es una fracción (función racional), el dominio se determina igualando el denominador a cero y excluyendo esos valores de $\mathbb{R}$.
Asíntotas
Las asíntotas son líneas a las que la función se acerca indefinidamente. Los polinomios NO tienen asíntotas; las funciones racionales SÍ pueden tenerlas. No hay Asíntota Vertical (A.V.) si la función es exponencial.
1. Asíntota Vertical (A.V.)
Se busca en los puntos que anulan el denominador.
- Se iguala el denominador a cero para obtener el valor $x=a$.
- Se verifica la existencia de la A.V. calculando los límites laterales: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ y $\lim_{x \to a^+} f(x)$. Si el resultado es $\pm \infty$, existe una A.V. en $x=a$.
2. Asíntota Horizontal (A.H.)
Se busca el comportamiento de la función en el infinito.
- Se calcula el límite al infinito: $Y = \lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $Y = \lim_{x \to -\infty} f(x)$. Si el resultado es un número real $L$, existe una A.H. en $y=L$.
- Para determinar la posición de la curva respecto a la A.H., se evalúa $f(x)$ para valores grandes (ej. $x=1000$) y pequeños (ej. $x=-1000$) y se compara el resultado con el valor de Y (la A.H.).
- Representación gráfica: Se marcan los puntos $X$ e $Y$ y se dibuja la función acercándose a las asíntotas. Se verifica si la función es positiva (por encima del eje X) o negativa (por debajo), siempre que la flecha se acerque a la línea marcada por los puntos.
Fórmulas de Derivación
Derivadas Básicas
| Función $f(x)$ | Derivada $f'(x)$ |
|---|---|
| $f(x) = C$ (constante) | $f'(x) = \mathbf{0}$ |
| $f(x) = x^n$ | $f'(x) = \mathbf{n \cdot x^{n-1}}$ |
| $f(x) = \sqrt{x}$ | $f'(x) = \mathbf{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$ |
| $f(x) = \sqrt[n]{x}$ | $f'(x) = \mathbf{\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}}$ |
| $f(x) = e^x$ | $f'(x) = \mathbf{e^x}$ |
| $f(x) = a^x$ | $f'(x) = \mathbf{a^x \cdot \ln a}$ |
| $f(x) = \ln(x)$ | $f'(x) = \mathbf{\frac{1}{x}}$ |
| $f(x) = \log_a x$ | $f'(x) = \mathbf{\frac{1}{x \cdot \ln a}}$ |
Reglas de Operación
- Regla del Producto: $(f \cdot g)' = \mathbf{f' \cdot g + f \cdot g'}$
- Regla del Cociente: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \mathbf{\frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}}$
Cálculo de Máximos y Mínimos (Extremos Relativos)
Procedimiento General (Funciones Polinómicas)
Los extremos relativos (máximos y mínimos) se encuentran donde la pendiente de la recta tangente es cero. (Para polinomios de grado 2, son parábolas).
- Calcular la primera derivada $f'(x)$.
- Igualar la derivada a cero ($f'(x)=0$) para encontrar los puntos críticos (valores de $X$).
- Evaluar la primera derivada en valores cercanos (uno mayor y uno menor) a cada punto crítico (ejemplo: si el punto es $X=1$, evaluar en $X=2$ y $X=0$).
- Determinar la monotonía:
- Si $f'(x) > 0$, la función es creciente (flecha hacia arriba).
- Si $f'(x) < 0$, la función es decreciente (flecha hacia abajo).
- Sustituir el valor $X$ (del paso 2) en la función original $f(x)$ para obtener la coordenada $Y$ y definir el punto $(x, y)$ del extremo.
Máximos y Mínimos en Funciones Racionales
- Calcular el dominio de la función (igualando el denominador a 0).
- Calcular la primera derivada $f'(x)$ utilizando la fórmula del cociente.
- Igualar la solución de la derivada a cero ($f'(x)=0$) para encontrar los puntos críticos.
- Evaluar la derivada en valores cercanos a los puntos críticos (ejemplo: si el punto es $X=1$, evaluar en $X=2$ y $X=0$).
- Determinar la monotonía (creciente o decreciente) en los intervalos definidos.
- Sustituir el valor $X$ del punto crítico en la función original $f(x)$ para obtener las coordenadas $(x, y)$ del extremo.
- Definir los intervalos de Monotonía: Creciente (marcar puntos donde va hacia arriba) y Decreciente (marcar puntos donde va hacia abajo).
Cálculo de la Recta Tangente
La ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en un punto $(a, b)$ se define como $y = mx + n$. El objetivo es obtener $m$ (pendiente) y $n$ (intercepto).
Procedimiento para obtener la Recta Tangente
- Obtener el punto de tangencia $(a, b)$. Si solo se proporciona $a$ (la coordenada $X$), se calcula $b = f(a)$ sustituyendo $a$ en la función original.
- Calcular la pendiente $m$: Se obtiene la primera derivada $f'(x)$ y se evalúa en el punto $a$: $m = \mathbf{f'(a)}$.
- Calcular el intercepto $n$: Se sustituyen los valores conocidos $X=a$, $Y=b$ y $m$ en la ecuación $Y = m \cdot X + n$. Se despeja $n$.
- Definir la ecuación de la recta tangente: Con los resultados de $m$ y $n$, se sustituyen las letras en la ecuación $y = mx + n$.
- Representación gráfica: Se utiliza la ecuación de la recta tangente para crear una tabla de valores $(x, y)$ y dibujar la recta.
Variaciones en la Obtención del Punto $(a, b)$
El paso 1 puede variar según la información inicial:
- Si se da $f(x)$ y un punto $(a, b)$: El punto ya está definido.
- Si se da $f(x)$ y la coordenada $X=a$: Se calcula $b = f(a)$ sustituyendo $a$ en $f(x)$.
- Si se da $f(x)$ y la coordenada $Y=b$: Se resuelve la ecuación $f(x) = b$ para encontrar el valor de $X=a$.