Fundamentos de Cálculo Diferencial: Derivadas, Límites y Continuidad

Reglas Principales de Derivación

Derivada de Suma y Resta

y = f(x) + g(x) ⇒ y′ = f′(x) + g′(x)
y = f(x) − g(x) ⇒ y′ = f′(x) − g′(x)

Derivada de un Número Real (Constante por Función)

y = k · f(x) ⇒ y′ = k · f′(x)

Derivada de un Producto

y = f(x) · g(x) ⇒ y′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Derivada de un Cociente

y = f(x) / g(x) ⇒ y′ = [f′(x)g(x) − f(x)g′(x)] / [g(x)]²

Resolución de Indeterminaciones

• Indeterminación 0/0:
  • Racional: Descomponer en factores y simplificar.
  • Con raíz: Multiplicar y dividir por el conjugado tanto arriba como abajo (ejemplo: si es 1 − √(2x+1), el conjugado será 1 + √(2x+1)).
• Indeterminación ∞/∞: Observar el grado de los polinomios:
  • Si G_n > G_d: el resultado es ±∞.
  • Si G_n < G_d: el resultado es 0.
  • Si G_n = G_d: se dividen los coeficientes de mayor grado.
• Indeterminación ∞ − ∞: Aplicar propiedades algebraicas para transformar la expresión en 0/0 o ∞/∞.

Estudio de Discontinuidades

1. Discontinuidad evitable (falta el punto): Los límites laterales existen y son iguales, pero son distintos al valor de la función en ese punto: lim f(x) ≠ f(a).
2. Discontinuidad inevitable:
   • Salto finito: Los límites laterales son distintos.
   • Salto infinito: Al menos uno de los límites laterales tiende a infinito.

Tasa de Variación y Definición de Derivada

TVM (a, b): [f(b) − f(a)] / (b − a)
Tasa de Variación Instantánea: lim_h→0 [f(a+h) − f(a)] / h

Definición Formal de Derivada

f′(x) = lim_h→0 [f(x+h) − f(x)] / h

Pasos para calcularla:

1. Calcular f(x+h) sustituyendo x+h en cada x de la función.
2. Calcular la diferencia f(x+h) − f(x).
3. Intentar sacar factor común H para simplificar con la h del denominador.

Sección de Refuerzo 1: Reglas y Límites

Derivada de Suma y Resta: y = f(x) ± g(x) ⇒ y′ = f′(x) ± g′(x)

Derivada de Número Real: y = k · f(x) ⇒ y′ = k · f′(x)

Derivada de un Producto: y = f(x)g(x) ⇒ y′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Derivada de un Cociente: y = f(x)/g(x) ⇒ y′ = [f′(x)g(x) − f(x)g′(x)] / g(x)²

Indeterminaciones: 0/0 (racional o conjugado), ∞/∞ (grados de polinomios), ∞−∞ (propiedades).

Discontinuidades: Evitable e Inevitable (salto finito e infinito).

TVM y Definición: f′(x) = lim_h→0 (f(x+h) − f(x)) / h.

Sección de Refuerzo 2: Resumen de Conceptos

Derivada de Suma y Resta: y = f(x) ± g(x) ⇒ y′ = f′(x) ± g′(x)

Derivada de Número Real: y = k · f(x) ⇒ y′ = k · f′(x)

Derivada de un Producto: y = f(x)g(x) ⇒ y′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Derivada de un Cociente: y = f(x)/g(x) ⇒ y′ = [f′(x)g(x) − f(x)g′(x)] / g(x)²

Indeterminaciones: 0/0 (racional o conjugado), ∞/∞ (grados de polinomios), ∞−∞ (propiedades).

Discontinuidades: Evitable e Inevitable (salto finito e infinito).

TVM y Definición: f′(x) = lim_h→0 (f(x+h) − f(x)) / h.

Sección de Refuerzo 3: Formulario Rápido

Derivada de Suma y Resta: y = f(x) ± g(x) ⇒ y′ = f′(x) ± g′(x)

Derivada de Número Real: y = k · f(x) ⇒ y′ = k · f′(x)

Derivada de un Producto: y = f(x)g(x) ⇒ y′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Derivada de un Cociente: y = f(x)/g(x) ⇒ y′ = [f′(x)g(x) − f(x)g′(x)] / g(x)²

Indeterminaciones: 0/0 (racional o conjugado), ∞/∞ (grados de polinomios), ∞−∞ (propiedades).

Discontinuidades: Evitable e Inevitable (salto finito e infinito).

TVM y Definición: f′(x) = lim_h→0 (f(x+h) − f(x)) / h.

Sección de Refuerzo 4: Repaso Final

Derivada de Suma y Resta: y = f(x) ± g(x) ⇒ y′ = f′(x) ± g′(x)

Derivada de Número Real: y = k · f(x) ⇒ y′ = k · f′(x)

Derivada de un Producto: y = f(x)g(x) ⇒ y′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Derivada de un Cociente: y = f(x)/g(x) ⇒ y′ = [f′(x)g(x) − f(x)g′(x)] / g(x)²

Indeterminaciones: 0/0 (racional o conjugado), ∞/∞ (grados de polinomios), ∞−∞ (propiedades).

Discontinuidades: Evitable e Inevitable (salto finito e infinito).

TVM y Definición: f′(x) = lim_h→0 (f(x+h) − f(x)) / h.