Fundamentos del Cálculo Diferencial: Conceptos, Reglas y Aplicaciones de la Derivada
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Derivadas
∆X cambio de x = X1- X2 ∆Y cambio de Y= f(x1) - f(x0)
∆X / ∆Y = Cociente incremental o variación media
f(x1) f(x0) / x1-x0
f ´(x0) = variación instantánea o derivada en un punto
Xo o la pendiente en un punto o la recta tangente
lim f(x0+ H) - f(x0) /h
H-->0
Derivabilidad y contabilidad : si f es una función derivable en Xo -> entonces f es continua en Xo * analizar la continuidad en X0 y dsp la derivabilidad
Reglas de derivación: f+g es derivable y (f+g) (x) = f ´ (x) + g ´ (x) | f.G es derivable y (f.G)´ (x) = f´(x).G(x) + f(x). G´(x) | c.F es derivable y (cf)´(x) = c.F´(x) | si g(x) distinto de 0 , f/g es derivable y (f/g)´(x) = [f´(x).G(x) - f(x).G´(x) / g2(x)
regla de la cadena: si f es derivable en Xo y G es otra función derivable en f(xo) es decir (Xo e Dom gof)
entonces gof esw derivable en Xo -> (gof)´(x) = g´(f(xo)) . F´(xo)
f es una función creciente en I si para todo par de puntosd X1 y X2 e I con la condición de que X1<X2 se cumple--> X1 =< X2 todos los puntos así son estrictamenet creciente | f(x1) < f(x2)
f es una función decreciente en I si para todo par de puntosd X1 y X2 e I con la condición de que X1>X2 se cumple--> X1 >= X2 todos los puntos así son estrictamenet decreciente f(x1) > f(x2)
teorema: si f es continua en (a;b) y derivable en (a; b) entonces:
si f´(x) >0 en (a;b) estritamente creciente | si f´(x)< 0 en (a;b) estritamente decreciente .
mínimos y máximos , si la derivada f´(xo) = 0
Criterio primera derivada
Si f´(x) > 0 para todo X e (a;xo) y f´(x) < 0 para todo Xe (xo;b), entonces alcanza en Xo un máximo o mínimo relativo
1) calcular la derivada de la función 2) calcular puntos críticos donde f´(x) =0 3) determinar intervalos donde f´(x) > o < 0 4) tomar numero de cada intervalo usar si se puede el 0 5)sustituir esos valores en la derivdad 6) interpretar donde es + creciente y donde es - decreciente
Concavidad
f(x)=< [ f(x1) f(x0) / x1-x0 ] . (x - x1) + f(x1) para todo xe(x1;x2) hacia arriba ,
f(x) >= [ f(x1) f(x0) / x1-x0 ] . (x - x1) + f(x1) para todo xe(x1;x2 hacia abajo
criterio para analizar concavidad
si f´(x) > 0 para todo valor Xe I , entonces la función f es cóncava hacia arriba en I
si f´(x) < 0 para todo valor Xe I , entonces la función f es cóncava hacia abajo en I
punto de inflexión (xo; f(xo))
Condición necesaria para puntos de inflexión:
si f es una función dos veces derivable y f´´ es continua, para todo xo donde presenta un punto de inflexión (xo; f(xo)) , debe ser f´´(xo) = 0
si a cambia de + a - es máximo , si cambia de - a + es mínimo | graficar de la función f(x) original con las x de puntos críticos y me da el f(xo) y ahí saco la cordenada
Concavidad y extremos relativo
si f es una función tal que f ´(x) y f´´(x) existen en todos los puntos de un intervalo abierto I que contiene a Xo y que f´(x) = 0
1 si f´´(x) < 0 f alcanzan un máximo reltivo en Xo |2 si f´´(x) > 0 f alcanzan un mínimo reltivo en Xo