Fundamentos de Aritmética: Operaciones y Propiedades de los Números Enteros

Operaciones con Números Enteros

Suma de Números Enteros con Valor Absoluto

La suma de números enteros se puede representar utilizando la notación de clases de equivalencia, especialmente al trabajar con la construcción formal de $\mathbb{Z}$ a partir de pares ordenados:

• Suma de enteros positivos: $$(+3) + (+2) = [(3,0)] + [(2,0)] = [(3+2, 0)] = [(5,0)]$$
• Suma de enteros con signos opuestos: $$(-3) + (+2) = [(0,3)] + [(2,0)] = [(2,3)]$$

  Simplificando la clase: $$[(2,3)] = [(0, 1)] = -1$$

Propiedades de la Adición

Propiedades de la Adición en $\mathbb{N}$ (Números Naturales)

El conjunto de los números naturales ($\mathbb{N}$) bajo la operación de adición posee las siguientes propiedades:

1. Clausura: La suma de dos números naturales es otro número natural.
2. Asociativa: $$(a+b)+c = a+(b+c)$$
3. Conmutativa: $$a+b = b+a$$
4. Existencia de elemento neutro: El natural $0$ es el elemento neutro; $$a+0 = 0+a = a, \ \forall a \in \mathbb{N}$$

Propiedades de la Adición en $\mathbb{Z}$ (Números Enteros)

El conjunto de los números enteros ($\mathbb{Z}$) bajo la operación de adición es un grupo abeliano, por lo que cumple las propiedades anteriores y añade la existencia del inverso aditivo:

• Clausura: La suma de dos números enteros es otro número entero.
• Asociativa: $$(a+b)+c = a+(b+c)$$
• Conmutativa: $$a+b = b+a$$
• Existencia de elemento neutro: El natural $0$ es el elemento neutro; $$a+0 = 0+a = a, \ \forall a \in \mathbb{N}$$
• Existencia del elemento simétrico (Opuesto): El elemento simétrico de un par $(a,b)$ es $(b,a)$, ya que su suma resulta en la clase del elemento neutro $(0,0)$. Al elemento simétrico por la adición de cualquier entero se le llama opuesto. Está claro que el opuesto de $+a$ es $-a$ y viceversa. El opuesto de $a$ es $-a$. El elemento neutro $(0,0)$ es el simétrico de sí mismo.

Propiedades de la Relación de Divisibilidad

La relación de divisibilidad ($a|b$) en los números naturales tiene las siguientes propiedades:

• Si un número ($a$) es divisor de otros dos ($b$ y $c$), entonces es divisor de su suma: $$a | (b+c)$$
• Si un número ($a$) es divisor de otros dos ($b$ y $c$), entonces es divisor de su diferencia: $$a | (b-c)$$
• Si un número ($a$) es divisor de otro ($b$), entonces es divisor de cualquiera de sus múltiplos: $$a | (b \cdot n)$$
• Si un número ($a$) es divisor de otro ($b$), y multiplicamos ambos números por una misma cantidad ($n$), la relación de divisibilidad se sigue conservando: $$(a \cdot n) | (b \cdot n)$$
• Si un número ($a$) es divisor de otros dos ($b$ y $c$), entonces es divisor de su producto: $$a | (b \cdot c)$$
• Si un número ($a$) es divisor de otro ($b$), entonces es divisor de cualquiera de sus potencias de exponente natural mayor o igual que uno: $$a | b^n$$
• La unidad ($1$) es divisor de todos los números naturales: $$1 | n$$
• Todo número natural es divisor de sí mismo: $$a | a$$
• Todo número natural es divisor de cero: $$a | 0$$

Definiciones Fundamentales en Teoría de Números

Números Enteros ($\mathbb{Z}$)

El conjunto de números enteros, denotado por $\mathbb{Z}$, está formado por: $$\mathbb{Z} = \{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...\}$$

Este conjunto incluye los números naturales ($\mathbb{N}$), sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes:

• Enteros positivos o números naturales ($\mathbb{Z}^+$).
• Enteros negativos ($\mathbb{Z}^-$).
• Cero ($0$).

Se cumple que $\mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^+$. Dado que los enteros contienen a los enteros positivos, se considera que los números naturales son un subconjunto de los enteros: $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$

Números Primos

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.

Ejemplos de números primos: $$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.$$

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto se escribe entre barras verticales: $|a|$.

Comparación de Enteros

Reglas para determinar cuál entero es mayor:

• Dos enteros negativos: es mayor el que tiene menor valor absoluto (ejemplo: $-7 > -10$).
• Dos enteros positivos: es mayor el que tiene mayor valor absoluto (ejemplo: $10 > 7$).

Números Perfectos y Abundantes

• Un número perfecto: Es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. Así, $6$ es un número perfecto porque sus divisores propios son $1, 2$ y $3$; y $6 = 1 + 2 + 3$. Los siguientes números perfectos son $28, 496$ y $8128$.
• Un número es abundante: Si la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número (como el $78$).

Criterios de Divisibilidad

Algunos criterios comunes para determinar la divisibilidad:

• 2: El número termina en cifra par.
• 3: La suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• 4: Las dos últimas cifras forman un número divisible por 4.
• 5: Termina en 0 o 5.
• 6: Es divisible por 2 y por 3.
• 8: Las tres últimas cifras forman un número divisible entre 8.
• 9: La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• 10: Termina en 0.
• 11: La diferencia entre la suma de las cifras en posiciones pares y la suma de las cifras en posiciones impares es 0 o múltiplo de 11.

Definiciones Formales de Divisor y Múltiplo

Divisor

DIVISOR: Dados dos números naturales $a$ y $b$, decimos que $a$ es un divisor de $b$ si existe un número natural $n$ tal que multiplicado por $a$ es igual a $b$ ($n \cdot a = b$).

Alternativamente, dados dos números naturales $a \neq 0$ y $b$, decimos que $a$ es un divisor de $b$ si al efectuar la división entera de $b$ por $a$ se obtiene resto cero.

Si $a \neq 0$, al dividir $b$ entre $a$ obtendremos cociente $n$ y resto cero. Esto implica que $b$ será igual al divisor $a$ por el cociente $n$ ($b = a \cdot n$), confirmando la existencia de un número natural que multiplicado por $a$ da $b$.

Múltiplo

MÚLTIPLO: Se dice que $a$ es múltiplo de $b$ si existe un número entero $n$ que multiplicado por $b$ es igual a $a$ ($a = n \cdot b$).

Relaciones Equivalentes y Notación

Las siguientes expresiones son equivalentes:

• $a$ es un divisor o factor de $b$.
• $b$ es un múltiplo de $a$.
• $a$ divide a $b$.
• $b$ es divisible por $a$.

Para indicar que $a$ es divisor de $b$ se utiliza la notación: $$a \mid b$$