Fundamentos de Aritmética: Números Primos, Divisores y Conceptos Clave de Fracciones

Fundamentos de Aritmética y Teoría de Números

La Criba de Eratóstenes: Identificación de Números Primos

La Criba de Eratóstenes es un método sistemático utilizado para calcular todos los números primos desde el 1 hasta un número límite deseado. Para realizar la criba de los primeros cien números, se listan todos los números hasta el 100 y se procede a eliminar los números compuestos.

El número 2 es el primer número primo. Los números pares, por su propia definición, son múltiplos de 2, por lo tanto, son compuestos y se eliminan. A continuación, se tachan los múltiplos de los siguientes números primos:

• Los múltiplos de 3.
• Los múltiplos de 5.
• Los múltiplos de 7.

Criterio de Parada para la Prueba de Primalidad

Para determinar si un número mayor que los que están en la criba es primo, lo dividiremos únicamente por los números primos conocidos, ya que los números compuestos están formados por factores primos. La criba de los 100 primeros números nos sirve para identificar los números primos necesarios para probar la primalidad hasta el 10.000.

Un número es primo si, al dividirlo sucesivamente por números primos, el cociente resulta ser menor que el divisor y si en todas las divisiones anteriores se obtuvo siempre algún resto (es decir, la división nunca fue exacta). Esto ocurre porque, a partir de ese punto, los factores que aparecerían en el cociente ya habrían sido probados previamente como divisores.

Cálculo de Divisores y Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Mecanismo para Hallar el Número de Divisores de un Número

Para determinar la cantidad exacta de divisores que posee un número, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Descomponer el número en sus factores primos.
2. Tomar los exponentes de cada factor primo.
3. Sumar 1 a cada uno de los exponentes.
4. Multiplicar los resultados obtenidos. El producto será el número total de divisores.

Ejemplo: Para el número 72.

$$72 = 3^2 \times 2^3$$

Aplicando la fórmula: $$(2+1) \times (3+1) = 12$$

El número 72 tendrá 12 divisores.

La razón por la que se suma 1 al exponente de cada base es porque se debe tener en cuenta esa misma base elevada a 0, cuyo resultado es 1 (que siempre es un divisor).

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más números es el divisor común más grande entre ellos.

Método 1: Listado de Divisores (Conceptual)

Este método es útil para entender el concepto:

1. Hallamos los divisores del primer número.
2. Hallamos los divisores del segundo número.
3. Buscamos el divisor común más grande.

Método 2: Descomposición en Factores Primos (Práctico)

Se toman únicamente los factores primos comunes elevados al menor exponente.

Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 72 y 48.

• Descomposición de 72: $$72 = 2^3 \times 3^2$$
• Descomposición de 48: $$48 = 2^4 \times 3^1$$

Los factores comunes son 2 y 3. Tomamos los menores exponentes:

$$M.C.D.(72, 48) = 2^3 \times 3^1 = 24$$

Nota: No se pueden usar $2^4$ (exponente de 48) ni $3^2$ (exponente de 72) porque $2^4$ no divide a 72, ni $3^2$ divide a 48.

Conceptos Fundamentales de Fracciones

¿Qué es una Fracción? Múltiples Interpretaciones

Una fracción puede entenderse de diferentes maneras, dependiendo del contexto matemático en el que se utilice:

1. La Fracción como Parte de un Todo

Esta es la interpretación más común. Una fracción se entiende como la parte de un todo. El denominador representa el número de partes iguales en el que dividimos el total y el numerador es la parte que utilizamos.

El modelo de áreas es una manera de representar las fracciones de forma visual. Para que sea efectivo, todas las regiones deben ser de igual tamaño.

2. La Fracción como Resultado de una Medida

Hay ocasiones en las que el numerador es mayor que el denominador. En este caso, no podemos entenderlo como la parte de un todo, por lo tanto, lo entenderemos como el resultado de una medida. En el denominador indicamos el número de partes en que se divide la unidad y el numerador es el número de partes que cogemos.

Según esto, $16/3$ significaría que se toman 16 porciones, donde cada unidad (barra de chocolate) está dividida en 3 trozos.

3. La Fracción como Razón

La fracción como razón se entiende como la relación de una parte del todo a otra parte del todo. Tanto el numerador como el denominador son partes del todo.

Ejemplo: En una clase, la razón de hombres a mujeres es de $3/4$, es decir, por cada 3 hombres hay 4 mujeres. Una razón es una fracción que representa la relación entre las partes del todo.

4. La Fracción como Resultado de un Reparto (División)

Se plantea la fracción como si fuese una división. En el numerador colocamos la cantidad de cosas que queremos repartir y en el denominador, entre cuántos lo queremos repartir.

5. La Fracción como Operador

Se entiende como una especie de máquina que opera multiplicando.

Ejemplo: $1 \times (3/7)$.

Clasificación de Fracciones: Propias, Impropias y Mixtas

• Fracciones Propias: Son aquellas en las que el denominador es mayor que el numerador, por lo que el valor de la misma está entre cero y uno. Por ejemplo: $2/3$.
• Fracciones Impropias: Son aquellas donde el denominador es menor que el numerador, por lo tanto, los valores de estas serán siempre mayor que uno. Por ejemplo: $3/2$.
• Fracciones Mixtas: Son aquellas que contienen una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo: $2 \frac{3}{4}$.