Fundamentos y Aplicaciones de la Corriente Continua (CC) en Circuitos Eléctricos

Corriente Continua (CC)

Introducción

Cuando a través de un conductor eléctrico cargado se produce un desplazamiento de cargas, se dice que es recorrido por corriente eléctrica. Para que exista corriente, tiene que haber un conductor eléctrico y un campo eléctrico que genere la fuerza suficiente para producir dicho desplazamiento.

Los conductores se clasifican en:

• 1ª Especie (Conductores Óhmicos/Metálicos): Conducen la corriente eléctrica de forma indefinida.
• 2ª Especie (Electrolitos): Su duración es limitada.

Si las cargas eléctricas van en el mismo sentido, se denomina Corriente Continua (CC). Si la carga varía periódicamente, de modo que las cargas se desplazan alternativamente en ambos sentidos, se denomina Corriente Alterna (CA).

Intensidad y Densidad de Corriente

Intensidad de Corriente (I)

La intensidad es la carga que atraviesa la sección de un conductor en la unidad de tiempo.

• Intensidad Media: $i_M = \Delta Q / \Delta t$
• Intensidad Instantánea: $i_{inst} = \lim_{\Delta t \to 0} \Delta Q / \Delta t = dQ/dt$

En el Sistema Internacional (S.I.) se mide en Amperios (A).

Densidad de Corriente (j)

Se entiende por densidad de corriente una magnitud vectorial cuyo flujo, calculado a través de una sección del conductor, coincide con el valor de la intensidad de corriente.

• $di = \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S}$
• $|\mathbf{j}| = i / |d\mathbf{S}|$

En el S.I. se mide en $A/m^2$.

La densidad de corriente se relaciona con la velocidad de las cargas:

$$Q_t = nq dS v dt$$

Teniendo en cuenta la definición de densidad de corriente, se obtiene:

$$\mathbf{j} = i/dS = Q_t / (dt dS) = nq dS \mathbf{v} dt / (dt dS) = nq\mathbf{v}$$

La densidad de corriente es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido coinciden con la dirección y sentido que tiene la velocidad de desplazamiento de las cargas.

Ley de Ohm

Partiendo de la relación entre la fuerza eléctrica y la velocidad de las cargas (donde $B$ es una constante de proporcionalidad relacionada con la movilidad):

$$\mathbf{F} = q\mathbf{E} = B\mathbf{v} \implies \mathbf{v} = (q/B)\mathbf{E}$$

Sustituyendo el valor de la velocidad en la densidad de corriente $\mathbf{j} = nq\mathbf{v}$:

$$\mathbf{j} = (nq^2/B)\mathbf{E}$$

Definiendo la Conductividad $\sigma = nq^2/B$, obtenemos la forma microscópica de la Ley de Ohm:

$$\mathbf{j} = \sigma\mathbf{E}$$

Esta expresión recoge que la densidad de corriente que atraviesa un conductor es proporcional a su conductividad y al campo eléctrico establecido.

Forma Macroscópica de la Ley de Ohm

Si consideramos un conductor óhmico (metálico), se verifica que el campo eléctrico es el gradiente negativo del potencial:

$$|\mathbf{E}| = -(V_b - V_a)/L$$

Relacionando con la intensidad y la resistividad $\rho = 1/\sigma$:

$$i/S = (1/\rho) (V_a - V_b)/L \implies i = (V_a - V_b) / (L\rho/S)$$

Llamando Resistencia $R = L\rho/S$, obtenemos la Ley de Ohm clásica:

$$i = (V_a - V_b) / R$$

Resistividad y Temperatura

La resistividad ($\rho$) es una característica de cada sustancia, y su valor varía con la temperatura ($t$):

$$\rho_t = \rho_0(1 + \alpha t + \beta t^2 + \dots)$$

Para variaciones pequeñas, se simplifica a:

$$\rho_t = \rho_0(1 + \alpha t)$$

Donde $\alpha$ es el coeficiente de temperatura de la resistividad: $\alpha = (\rho_t - \rho_0) / (\rho_0 t)$.

Efecto Joule

Cuando una corriente eléctrica atraviesa un conductor, se disipa energía en forma de calor. Este fenómeno se conoce como Efecto Joule.

La potencia disipada ($P$) se calcula como:

$$dP = dW/dt = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}/dt = Q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}$$

Si expresamos la densidad de corriente en función de la intensidad, la potencia disipada por unidad de volumen es $dP/d\tau = \rho j^2$. La potencia total disipada en el conductor es:

$$P = Ri^2$$

La energía (trabajo) disipada en un tiempo $t$ será:

$$W = Pt = Ri^2t = (V^2/R)t$$

Fuerza Electromotriz (F.E.M.)

La Fuerza Electromotriz ($\epsilon$) es la energía que suministra el generador para hacer circular la unidad de carga a través de un circuito.

$$\epsilon = dW/dQ$$

La potencia del generador es: $P = dW/dt = \epsilon (dQ/dt) = \epsilon i$. En el S.I. se mide en Voltios (V).

Balance de Potencias y Rendimiento

Si unimos una resistencia $R$ a un generador con resistencia interna $r$, establecemos la ecuación de igualdad de potencia del generador y la potencia total disipada (en $R$ y en $r$):

$$\epsilon i = i^2R + i^2r$$

Dividiendo por $i$:

$$\epsilon = iR + ir$$

Donde $V_a - V_b = iR$ es la diferencia de potencial en bornes. Por lo tanto:

$$\epsilon = (V_a - V_b) + ir$$

En circuito abierto ($i=0$), la F.E.M. es igual a la diferencia de potencial en bornes: $\epsilon = V_a - V_b$.

El Rendimiento ($\eta$) de un generador es la relación entre la potencia útil y la potencia total:

$$\eta = P_{útil}/P_{total} = i^2R / (\epsilon i) = iR / \epsilon$$

Sustituyendo $\epsilon = i(R+r)$:

$$\eta = R / (R+r)$$

Nota sobre la igualdad de potencias en un circuito:

Suponiendo un circuito por el que circula una intensidad $i$. Si establecemos la igualdad entre potencia suministrada y potencia total disipada, tendremos:

$$(V_a - V_b)i + \epsilon_2 i + \epsilon_3 i = \epsilon_1 i + i^2R_1 + i^2R_2 + i^2R_3 + i^2r_1 + i^2r_2 + i^2r_3$$

Simplificando por $i$:

$$(V_a - V_b) + \epsilon_2 + \epsilon_3 = \epsilon_1 + i (R_1 + R_2 + R_3 + r_1 + r_2 + r_3)$$

Esta relación es la base de la Ley de Mallas de Kirchhoff, donde la sumatoria de F.E.M. es igual a la sumatoria de las caídas de tensión:

$$\sum_{i=1}^n \epsilon_i = \sum_{j=1}^m i_j R_j$$

Asociación de Resistencias

1) En Serie

La diferencia de potencial total es la suma de las caídas de tensión en cada resistencia:

$$V_a - V_n = (V_a - V_b) + (V_b - V_c) + \dots + (V_{n-1} - V_n)$$

Aplicando la Ley de Ohm ($V=iR$):

$$iR_t = iR_1 + iR_2 + \dots + iR_n$$

Despejando la resistencia total ($R_t$):

$$R_t = R_1 + R_2 + \dots + R_n$$

La resistencia total o equivalente de una asociación de resistencias en serie es la suma de las resistencias asociadas.

2) En Paralelo

La intensidad total es la suma de las intensidades en cada rama:

$$i = i_1 + i_2 + \dots + i_n$$

Aplicando la Ley de Ohm ($i=V/R$), y sabiendo que la diferencia de potencial es la misma en todas las ramas ($V_a - V_b$):

$$(V_a - V_b)/R_t = [(V_a - V_b)/R_1] + [(V_a - V_b)/R_2] + \dots + [(V_a - V_b)/R_n]$$

Despejando el inverso de la resistencia total:

$$1/R_t = 1/R_1 + 1/R_2 + \dots + 1/R_n$$

El inverso de la resistencia total de una asociación de resistencias en paralelo es la suma de los inversos de las resistencias asociadas.

Leyes de Kirchhoff

1) Ley de los Nudos (o de la Corriente)

Se aplica a los puntos donde concurren tres o más conductores (nudos).

$$\sum_{i=1}^n i_i = 0$$

La suma algebraica de las intensidades que concurren en un nudo es cero.

2) Ley de las Mallas (o de la Tensión)

Se aplica a todo polígono cerrado formado por conductores (mallas).

$$\sum_{i=1}^n \epsilon_i = \sum_{j=1}^m i_j R_j$$

La suma algebraica de las fuerzas electromotrices en una malla es igual a la suma algebraica de las caídas de tensión ($iR$) en esa misma malla.

3) Aplicación Práctica

Nudos: Salvo indicación, se decide el signo de $i$ (entrante positivo, saliente negativo, o viceversa), dependiendo de la solución final. Si los signos son correctos, la suma debe ser cero. (Ejemplo: $-(i_1 + i_2 + i_3) = 0$ en el nudo B. El nudo A no se escribe porque es linealmente dependiente).

Mallas: Se establecen las ecuaciones de las mallas (incluyendo resistencias internas $r$ si las hay):

• Malla 1: $\epsilon_1 + \epsilon_2 = i_1R_1 - i_2R_2$
• Malla 2: $\epsilon_2 + \epsilon_4 - \epsilon_2 = i_2R_2 - i_3(R_3 + R_4)$

Se obtienen $N$ ecuaciones con $N$ incógnitas, despejando para obtener las intensidades.

Corrientes Cíclicas (Método de Maxwell)

Dado que en un circuito, por muy simple que sea, el número de incógnitas y ecuaciones puede ser muy elevado, se utiliza el método de las corrientes cíclicas de Maxwell ($i_1^*$, $i_2^*$, etc.) para reducir el número de incógnitas.

Las ecuaciones de malla se reescriben en función de las corrientes de lazo:

• Malla 1: $\epsilon_1 + \epsilon_2 = i_1^*(R_1 + R_2) - i_2^*R_2$
• Malla 2: $\epsilon_3 + \epsilon_4 - \epsilon_2 = i_2^*(R_2 + R_3 + R_4) - i_1^*R_2$

Las intensidades reales se relacionan con las cíclicas:

$$i_1 = i_1^*$$

$$i_2 = i_2^* - i_1^*$$

$$i_3 = -i_2^*$$

Aplicaciones de las Leyes de Kirchhoff

1) Amperímetro

Es un equipo de medida que se conecta en serie con el conductor para medir la intensidad de corriente que circula por él.

Cuando la intensidad de corriente que queremos medir es superior al valor máximo del campo de medida del amperímetro, se conecta una resistencia auxiliar en paralelo con el amperímetro, llamada resistencia shunt ($R_s$), como medida de protección y para ampliar el rango.

Aplicando las leyes de Kirchhoff:

• Nudos: $i = i_s + i_a$
• Mallas (caída de tensión en $R_a$ y $R_s$ es la misma): $i_a R_a = i_s R_s$

Despejando $i_s$ e introduciendo en la ecuación de nudos:

$$i = i_a [1 + (R_a/R_s)]$$

Si se desea que la relación de ampliación sea $i/i_a = 10^n$, la resistencia shunt necesaria es:

$$R_s = R_a / (10^n - 1)$$

2) Voltímetro

Es un aparato conectado en paralelo entre dos puntos que mide el valor de la diferencia de potencial entre ambos.

Para ampliar el rango de medida, se conecta una resistencia auxiliar ($R_s$) en serie con el voltímetro.

La tensión total es la suma de las caídas de tensión:

$$V = V_v + V_s$$

Como la intensidad es la misma en serie: $i = V_v/R_v = V_s/R_s$.

Si se desea que la relación de ampliación sea $V/V_v = 10^n$, la resistencia serie necesaria es:

$$R_s = (10^n - 1)R_v$$

Asociación de Pilas

1) En Serie

Se conecta una pila a continuación de otra. La F.E.M. total es $n\epsilon$ y la resistencia interna total es $nr$.

$$i = n\epsilon / (R + nr)$$

2) En Paralelo

Se unen los bornes de igual signo de todas las pilas asociadas a dos puntos. La F.E.M. total es $\epsilon$ y la resistencia interna equivalente es $r/n$.

$$i = \epsilon / [R + (r/n)]$$