Fundamentos de Álgebra Polinomial y Métodos Numéricos Esenciales

Teorema Fundamental del Álgebra

Toda ecuación polinomial de grado “n”, , tiene a lo sumo “n” raíces en el campo de los números complejos y puede escribirse de la siguiente manera:

Donde son las raíces simples de la ecuación polinómica.

Regla de Descartes

Un polinomio tendrá la cantidad de raíces reales (o menor en un múltiplo de 2), igual a la cantidad de cambios de signos del polinomio escrito en forma decreciente y ordenado. La cantidad de raíces negativas será igual a la cantidad de cambio de signos (o menor en un múltiplo de 2) de la ecuación .

Método de Laguerre

Sirve para encontrar el intervalo en el cual se encuentran todas las raíces de la función. Se aplica Ruffini al polinomio ordenado, decreciente y completo. Cuando los factores sean positivos y distintos de cero habremos encontrado el límite. Si el resto se hace cero, quiere decir que se encuentra una raíz, y si hay un cambio de signo de los restos también hay una raíz y habremos encontrado un subintervalo. Se debe tener en cuenta que el coeficiente principal siempre debe ser positivo; en caso de no serlo, se multiplica miembro a miembro por .

Newton-Cotes

El método consiste en dividir el intervalo cerrado en “n” intervalos de igual amplitud, donde la amplitud viene dada por . Los valores extremos se calculan como:

Donde siendo .

Luego se aproxima la función con un polinomio de grado “n” dado , que es el polinomio de colocación de Lagrange, y luego se itera para obtener la aproximación de la integral.

Método de los Trapecios

La aproximación polinomial a es por medio de un polinomio de primer grado (recta) y la aproximación a la integral es el área del trapecio formado por el polinomio de primer grado entre y .

Regla de Simpson

Se aproxima con una parábola, que es la representación gráfica de un polinomio de segundo grado de colocación de Lagrange, y se aproxima el área bajo la curva de la función por la integral del polinomio de segundo grado entre y .

Euler Modificado

Se utiliza el valor promedio de la derivada en los dos extremos del intervalo, en lugar de tomar la derivada en un solo extremo como lo hacía el método de Euler. Consta de dos pasos:

1. Paso Predictor: Se parte de y utilizamos el método de Euler. Se calcula el valor de correspondiente a . Este proceso se conoce como paso predictor .
2. Paso Corrector: Se trata de conseguir la predicción; en el nuevo punto se evalúa la derivada usando la ecuación diferencial ordinaria del problema del valor inicial que se está resolviendo a la derivada del punto inicial . Finalmente, usamos esa derivada promedio para calcular un nuevo valor de que es más exacto que el anterior.