Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices y Sistemas de Ecuaciones

Definiciones y Tipos de Matrices

Una matriz se define como A_mn. Por ejemplo, a₂₁ indica una matriz de 2 filas (arriba-abajo) y 1 columna (izquierda-derecha).

• Si m = 1, se denomina matriz fila (lo mismo ocurre para una columna si n = 1).
• Si m = n, la matriz es de orden n (matriz cuadrada).
• Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada donde los elementos fuera de la diagonal principal son 0.
• Matriz escalar: Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales entre sí.
• Matriz idéntica: Es una matriz donde los elementos de la diagonal son todos 1.

Operaciones Básicas con Matrices

Suma y Resta

En la suma, se suma o resta cada número con su pareja correspondiente (esto solo es posible si las matrices son del mismo tamaño).

Multiplicación por un Escalar

-A: Se multiplica por menos uno (-1) a cada uno de los elementos de la matriz.

Matriz Transpuesta (A^t)

Es una matriz mn que pasa a ser nm (se intercambian filas por columnas). Sus propiedades son:

• (A + B)^t = A^t + B^t
• (A^t)^t = A
• (AB)^t = B^t * A^t
• (KA)^t = K * A^t

Matrices Simétricas y Antisimétricas

• Simétrica: De orden n, una matriz A es simétrica si A = A^t.
• Antisimétrica: Una matriz A es antisimétrica si A = -A^t.

Matriz Triangular

Se denomina así si los elementos por arriba O por abajo de la diagonal principal son 0.

Multiplicación de Matrices

Para realizar la multiplicación, debe haber el mismo número de columnas en la matriz A que de filas en la matriz B.

Ejemplo de cálculo:

(2, 3, 4)   *  ( 4  2 )  = ( (2)(4) + (3)(-5) + (4)(1) )   ( (2)(2) + (3)(-1) + (4)(4) )
(2, -3, -1)    (-5 -1 )    ( (2)(4) + (-3)(-5) + (-1)(1) )  ( (2)(2) + (-3)(-1) + (-1)(4) )
               ( 1  4 )

Resultado = ( -3, 17 )
            ( 22,  3 )

Matrices Escalonadas y Operaciones de Fila

• Matriz escalonada: Su diagonal es 1 y los elementos por debajo son 0.
• Matriz escalonada reducida: Su diagonal es 1 y todos los demás elementos son 0.

Operaciones permitidas:

1. Se puede multiplicar una constante no nula (diferente de 0) por una sola fila.
2. Se pueden intercambiar filas entre sí.
3. Se puede multiplicar una fila por una constante y el resultado se le suma a otra fila (solo se altera la fila a la que se le suma).

Matriz Inversa (A^-1)

Para calcularla, se coloca la matriz (A) y al lado la matriz identidad (escalonada reducida). Se lleva la matriz A a su forma escalonada reducida aplicando operaciones de fila y se hace lo mismo simultáneamente con la matriz de al lado. El resultado obtenido a la derecha es la inversa (A^-1).

Nota: Una matriz no tiene inversa si una de sus filas resulta ser de ceros.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ejemplo de ecuación lineal: 2x₁ + 3x₂ + 1x₃ = 12. Esto se puede representar en una matriz como: (2, 3, 1 | 12). Una serie de ecuaciones lineales se pueden colocar en forma de matriz.

Métodos de Solución

Método de Gauss

Se lleva la ecuación lineal a una matriz y luego se transforma la matriz a su forma escalonada. El resultado se vuelve a llevar a su forma lineal y se despejan las variables x.

En la última expresión k₂x = b₃ (donde k es un valor de la matriz y b una solución):

• Si b₃ = 0 y k₂ ≠ 0: Sistema Compatible.
• Si b₃ ≠ 0 y k₂ = 0: Sistema Incompatible.
• Si b₃ = 0 y k₂ = 0: Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones).

Método de Gauss-Jordan

Se lleva el sistema lineal a una matriz y se transforma hasta obtener la forma escalonada reducida. Al llevarla de nuevo a su forma lineal, el resultado obtenido son directamente los valores de las variables x.