Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices, Operaciones y Determinantes

Conceptos Fundamentales de Matrices

Se denomina matriz de dimensión m × n a un conjunto de m × n elementos dispuestos en m filas y n columnas.

Tipos de Matrices

• Matriz Cuadrada: El número de filas coincide con el de columnas. Se habla de matriz cuadrada de orden n.
• Matriz Fila: Solo tiene una fila.
• Matriz Columna: Solo tiene una columna.
• Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo o por encima de la diagonal principal son 0.
• Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son 0.
• Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados en la diagonal principal son 1 y el resto son 0.
• Matriz Nula: Todos sus elementos son 0.

Operaciones con Matrices

Adición de Matrices

Dadas dos matrices, A y B, de la misma dimensión, la matriz suma es la que se obtiene sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posición.

Multiplicación de Matrices

Es la operación de multiplicación que se efectúa entre dos matrices, o bien entre una matriz y un escalar.

Transposición de Matrices

Dada una matriz A, la matriz transpuesta (denotada A^T) es la que se obtiene intercambiando sus filas por sus columnas.

Determinantes y Rango de Matrices

Adjunto de un Elemento

El adjunto de un elemento a_ij (denotado A_ij) es el menor complementario de a_ij, precedido del signo + o -, según la suma i + j sea par o impar.

Cálculo del Determinante

Si A es una matriz de orden n, el determinante de A (denotado det(A) o |A|) es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna cualquiera por sus adjuntos correspondientes.

Rango de una Matriz

El rango de una matriz escalonada A es el número de filas no nulas de A.

Matrices Equivalentes

Dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de la otra mediante transformaciones elementales.

Propiedades de los Determinantes

1. El determinante de una matriz y el de su transpuesta coinciden.
2. Si se multiplican por un número todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz, su determinante queda multiplicado por dicho número.
3. Si una fila (o columna) de una matriz es la suma de dos vectores, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes.
4. Si se intercambian dos líneas paralelas (filas o columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo.
5. Si una matriz tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es igual a 0.
6. Si una matriz tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es igual a 0.
7. Si una matriz tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante es 0.
8. Si una de las líneas de una matriz es combinación lineal de otras líneas paralelas, su determinante es igual a 0.
9. Si a una línea de una matriz se le suma una combinación lineal de otras líneas paralelas, su determinante no varía.

Rango y Sistemas de Ecuaciones Lineales

La última parte del texto se refiere a las condiciones para la clasificación de sistemas de ecuaciones lineales según el rango de la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A').

• Sistema Incompatible (SI): No tiene solución. Esto ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes es diferente al rango de la matriz ampliada (rang(A) ≠ rang(A')).
• Sistema Compatible Determinado (SCD): Tiene una única solución. Esto ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, y este rango es igual al número de incógnitas (rang(A) = rang(A') = n, donde n es el número de incógnitas).
• Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Tiene infinitas soluciones. Esto ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, y este rango es menor que el número de incógnitas (rang(A) = rang(A') < n).

En resumen, las condiciones para la compatibilidad de un sistema lineal son:

• Si rang(A) ≠ rang(A'): El sistema es Incompatible (SI).
• Si rang(A) = rang(A') = n (número de incógnitas): El sistema es Compatible Determinado (SCD).
• Si rang(A) = rang(A') < n (número de incógnitas): El sistema es Compatible Indeterminado (SCI).