Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices, Determinantes y sus Propiedades Esenciales

Propiedades Fundamentales de Matrices y Determinantes

Propiedades de las Operaciones con Matrices

Suma de Matrices

• Conmutativa: A + B = B + A
• Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
• Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A (donde 0 es la matriz nula)
• Elemento Opuesto: A + (-A) = 0

Multiplicación de una Matriz por un Escalar

• aA = Aa
• a(A + B) = aA + aB
• (a + b)A = aA + bA
• a(bA) = (ab)A
• 1A = A

Matriz Traspuesta

Si A es una matriz de dimensión m x n, su traspuesta A^t es de dimensión n x m.

• (A^t)^t = A
• (A + B)^t = A^t + B^t
• Una matriz A es simétrica si A = A^t.
• Una matriz A es antisimétrica si A = -A^t.

Producto de Matrices

• Asociativa: A(BC) = (AB)C
• a(AB) = (aA)B
• Distributiva por la izquierda: A(B + C) = AB + AC
• Distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC
• Elemento Neutro: Si A es una matriz de m x n, entonces A * I_n = A y I_m * A = A (donde I_n e I_m son matrices identidad de orden n y m respectivamente).
• (AB)^t = B^t * A^t

Matriz Inversa (A^-1)

• (A^-1)^-1 = A
• (A^t)^-1 = (A^-1)^t
• (AB)^-1 = B^-1 * A^-1

FÓRMULA CLAVE: A * A^-1 = A^-1 * A = I (donde I es la matriz identidad).

Rango de una Matriz

El rango de una matriz (rg(A)) es el máximo número de filas o columnas linealmente independientes.

• El rango no varía si se eliminan filas o columnas nulas.
• El rango no varía si se eliminan filas o columnas proporcionales a otras.
• El rango no varía si se eliminan filas o columnas linealmente dependientes de otras.
• El rango no varía si se cambia el orden de las filas o columnas.

Una matriz cuadrada de orden n tiene inversa si su rango es n (el máximo posible).

Teorema del Rango

El rango de una matriz coincide con el número de filas (o columnas) linealmente independientes.

Dimensión y Rango

El rango de una matriz de dimensión m x n es, como máximo, el menor de m y n (min(m, n)).

Determinantes

Adjunto de un Elemento

El adjunto de un elemento a_ij de una matriz cuadrada es el determinante de la submatriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz inicial, multiplicado por (-1)^i+j.

Definición de Determinante

El determinante de una matriz (det(A) o |A|) es un número real que se obtiene al sumar todos los productos posibles de n! términos, donde cada término es el producto de n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna. A cada producto se le antepone un signo (+ o -) según la paridad de la permutación de las columnas (o filas). De esta definición, se deduce que hay el mismo número de sumandos positivos y negativos, y el signo depende de la permutación de las columnas.

Menor Complementario

Se llama menor complementario del elemento a_ij (denotado como M_ij o α_ij) al determinante de la submatriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j de la matriz A de orden n.

Propiedades de los Determinantes

• Si una fila o columna de una matriz tiene todos sus elementos nulos, su determinante es cero.
• Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante es cero.
• Si una fila o columna es combinación lineal de otras filas o columnas, el determinante es cero.
• Si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de otras filas o columnas, el valor del determinante no varía.
• Si se permutan dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo, pero su valor absoluto se mantiene.
• Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
• El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta: |A| = |A^t|.
• El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes: |AB| = |A| * |B|.
• Si dos determinantes de matrices del mismo orden solo difieren en una fila (o columna), su suma es igual al determinante de la matriz que se obtiene sumando los elementos de esa fila (o columna) y manteniendo las demás filas (o columnas) idénticas.
• El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Matriz Adjunta y Tipos de Matrices

Matriz Adjunta

La matriz adjunta de una matriz cuadrada A (denotada como Adj(A) o A^d) es la matriz del mismo orden cuyos elementos son los adjuntos de los elementos correspondientes de A.

Matriz Regular y Singular

• Una matriz es regular (o invertible) si tiene inversa.
• Una matriz es singular si no tiene inversa.