Fundamentos de Álgebra Lineal: Definición, Clasificación y Operaciones con Matrices

matrises:

definimos una matriz como una agrupación de elementos dispuestos en filas y columnas, enredados entre corchetes, paréntesis o doble barra,. Los simbolizamos con una letra mayúscula y a los elementos con minúsculas. (CUADRO) todo elemento general de la matriz se simboliza como: A_ij= subíndice I son las filas; subíndice J son las columnas. Llamamos orden de una matriz al numero de filas y columnas  que contiene.

Clasificación de matrices:

Matriz cuadrada: es aquella que tiene el mismo numero de filas que de columnas. * matriz rectangular: cuando el numero de filas es distinto al numero de columnas, nos queda definida una matriz rectangular, es decir M (distinto) N. * matriz diagonal: la diagonal principal es la que va desde el ángulo superior izquierdo al ángulo inferior derecho y la matriz secundaria es la que va desde el ángulo inferior izquierdo al ángulo superior derecho. * matriz escalar: es escalar cuando se cumple que la matriz es diagonal y todos los elementos de la diagonal principal son iguales entre si.  Matriz identidad: es aquella matriz escalar que tiene los elementos de la diagonal principal iguales a uno. * Matriz nula: es una matriz cuyos elementos son todos iguales a ceros y se simboliza con 0 (cero) no necesita ser cuadrada. * Matriz triangular: queda definida como una matriz cuyos elementos a la derecha o a la izquierda (por encima o por abajo) de la diagonal principal son todos iguales a cero. También se lo define como la matriz cuadrada que tiene nulo los elementos situados a un mismo lado de la diagonal principal. Puede ser una matriz triangulas inferior o superior dependiendo donde su ubique el triangulo de ceros. * Matriz simétrica: es una matriz tal que A= A'. en base a esta definición podemos decir que es aquella matriz en la cual los elementos ubicados simétricamente a cada lado de la diagonal principal son iguales entre si. * Matriz antisimetrica: es igual a la traspuesta con sus elementos opuestos.

Igualdad de matrices:

dadas dos matrices A y B, estas matrices son iguales si: 1)son del mismo orden 2) si los elementos correspondientes son iguales.  A=B <=> A_ij(al revés)eN:a_ij=b_ij .

Operaciones con matrices: *

 suma de matrices: la suma de dos o mas matrices del mismo orden da como resultado una nueva matriz del mismo orden cuyos elementos son la suma de los elementos correspondientes de los sumados, (FORMULAS) . * Producto de una matriz por un escalar: esta operación se define al aplicar una ley de composición externa. Para realizar la operación intervienen una matriz  y un escalar o sea un elemento perteneciente a un cuerpo. La multiplicación de una matriz por un escalar sera igual a una nueva matriz del mismo orden que la anterior cuyo elementos son los de la matriz original multiplicado por un escalar (FORMULA). * Multiplicación de matrices:  Para que 2 matrices puedan multiplicarse es necesario que el numero de columnas del primer vector sea igual al numero de columnas del segundo. El resultado es la nueva matriz de orden igual al numero de columnas de la primera por el numero de filas de la segunda cuyo elemento _ij (para expresar cualquier elemento de la matriz) es el producto interno del vector fila que se forma con la fila; de la primera matriz por el vector columna quye se forma con la J de la segunda matriz.

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz se obtiene intercambiando filas por columnas, (FORMULA)

Traza de una matriz:

la traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal principal. La traza de una matriz esta definida para el caso de las matrices cuadradas.

Matrices elementales:

Son las que se obtienen realizando a una matriz identidad algunas de las siguientes operaciones (llamadas elementales) : 1) Multiplicación de lineas paralelas por una constante distinta de cero. 2) Intercambio de lineas paralelas entre si. 3)  Sumar a una línea, otra línea paralela previamente multiplicada con una constante distinta de cero. ( FORMULA)=>