Fundamentos de Álgebra Lineal: Cambio de Base, Matrices y Determinación del Rango Vectorial

Cambio de base

Sea una base B = {e1, e2, e3, . . . , en} de un espacio vectorial V de dimensión finita, cualquier vector u de V de puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de B

u = x1e1 + x2e2 + x3e3 + . . . + xnen si se considera una segunda base B0 = {e01, e02, e03, . . . , e0n}, el vector u anterior también se puede expresar como combinación lineal única, en función de la nueva base u = x01e01 + x02e02 + x03e03 + . . . + x0ne0n resulta interesante conocer la relación que existe entre las coordenadas del vector u respecto a las dos bases.

Supongamos que la base B es la base de referencia, entonces los vectores de la nueva base B0 se pueden expresar como combinación lineal única de los vectores de la base de referencia, dado que los vectores de B0 son n, para expresar sus coordenadas utilizaremos

Los vectores de la nueva base B’están definidos por n × n escalares ordenados por dos índices, es decir se pueden escribir como una matriz cuadrada de orden n, dicha matriz se organiza de la siguiente forma; P=…; Las coordenadas de cada vector de B’se han colocado en una columna de la matriz P,siendo la columna j de la matriz las n coordenadas del vector e’j ; Las coordenadas de cada vector e’j se podrían haber dispuesto como filas de la matriz P,pero por conveniencia en la formulación de los resultados que se obtienen posteriormente,es más practico organizarlos por columnas, como se ha hecho.

Propiedades del producto de matrices;

Algunas propiedades del producto de matrices, que se puedendemostrar aplicando la definición de producto:
1.
La matriz cuadrada de tamaño n;I =1 0 . . . 0;0 1 . . . 0;. . .;0 0 . . . 1; se llama matriz unidad, multiplicada por cualquier matriz A de tamaño compatibleda como resultado A; A · I = A; I · A = A;

2

El producto, siempre que los tamaños de las matrices sean compatibles, es asociativo; A · (B · C) = (A · B) · C = A · B · C;

3

El producto, siempre que los tamaños de las matrices sean compatibles, es distributivorespecto a la suma de matrices; A · (B + C) = A · B + A · C

;

(B + C) · A = B · A + C · A

;

El conjunto de las matrices cuadradas de orden n con la suma y el producto esun anillo unitario no conmutativo con divisores de cero.

Obtención del rango de un sistema de vectores:

Sea un sistema de vectores S = {u1, u2, . . . , up} de un espacio vectorial V , los pasos aseguir son los siguientes.

1. Localizar un vector linealmente independiente (L.I ), llamémosle {ui1}

2. Añadir uno a uno el resto de vectores hasta encontrar dos vectores {ui1, ui2} LI

Repetir el siguiente proceso

3. A partir de s vectores {ui1, ui2, uis} LI, añadir uno a uno el resto de vectores hasta

Que (a) se encuentra un vector uis+1 de modo que ©ui1, ui2, uis, uis+1ª es LI, en cuyo caso se sigue repitiendo el proceso.

(b) no es posible encontrar s + 1 vectores LI, en este caso el número máximo de vectores es s y por lo tanto el rango de S es s, el sistema LI buscado es {ui1, ui2, uis}.