Fundamentos de Álgebra y Geometría: Ecuaciones Cuadráticas, Inecuaciones, Ángulos y Semejanza

Ecuaciones Cuadráticas

Forma General

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente de la incógnita (generalmente x) es dos. Su forma general es:

ax² + bx + c = 0

Donde a, b y c son coeficientes numéricos, con a ≠ 0.

Ecuaciones Cuadráticas Incompletas

Son aquellas en las que el coeficiente b es cero (ecuaciones de la forma ax² + c = 0) o el término independiente c es cero (ecuaciones de la forma ax² + bx = 0).

Ejemplos de resolución:

Fórmula General

Para resolver cualquier ecuación cuadrática completa ax² + bx + c = 0, se utiliza la fórmula general:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

El término dentro de la raíz, Δ = b² - 4ac, se llama discriminante y determina la naturaleza de las soluciones:

• Si b² - 4ac > 0: Dos soluciones reales y distintas.
• Si b² - 4ac = 0: Una solución real doble (o dos soluciones reales iguales).
• Si b² - 4ac < 0: No existen soluciones reales (las soluciones son complejas conjugadas). (Nota: el original omitía el signo '<')

Factorización de Ecuaciones de Segundo Grado

Algunas ecuaciones cuadráticas pueden resolverse factorizando el trinomio. Un producto notable útil es el cuadrado de un binomio:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b)² = a² - 2ab + b²

Ejemplos de resolución por factorización:

Inecuaciones Lineales (Desigualdades)

Una inecuación lineal es una desigualdad que involucra una o más variables elevadas a la primera potencia (es decir, sin exponentes). Establece una relación de orden (≠, >, <, ≥, ≤) que existe entre dos cantidades o expresiones algebraicas.

Simbología para intervalos en la recta real:

• Intervalo cerrado: [ , ] (incluye los extremos, se usa con ≤ o ≥). Representado gráficamente con un punto relleno: ●.
• Intervalo abierto: ( , ) (no incluye los extremos, se usa con < o >). Representado gráficamente con un punto vacío: ○.
• Infinito: -∞, +∞ (siempre se usa con paréntesis en la notación de intervalo).

Ejemplos de Resolución de Inecuaciones Lineales:

Ángulos: Tipos y Relaciones

Un ángulo (∠) es la figura geométrica formada por dos semirrectas (lados) que comparten un origen común (vértice).

Clasificación de Ángulos según su Medida

• ∠ Convexo: Aquel que mide más de 0° y menos de 180° (0° < α < 180°). (Corrección: el original indicaba -180°)
• ∠ Agudo: Mide más de 0° y menos de 90° (0° < α < 90°).
• ∠ Recto: Mide exactamente 90° (α = 90°).
• ∠ Obtuso: Mide más de 90° y menos de 180° (90° < α < 180°).
• ∠ Llano o Colineal: Mide exactamente 180° (α = 180°).
• ∠ Cóncavo o Réflexo: Mide más de 180° y menos de 360° (180° < α < 360°). (Corrección: el original indicaba -360°)
• ∠ Perigonal o Completo: Mide exactamente 360° (α = 360°).

Relaciones entre Ángulos según su Suma

• ∠ Complementarios: Dos ángulos cuya suma de medidas es 90° (∠A + ∠B = 90°).
• ∠ Suplementarios: Dos ángulos cuya suma de medidas es 180° (∠A + ∠B = 180°).
• ∠ Conjugados: Dos ángulos cuya suma de medidas es 360° (∠A + ∠B = 360°).

Tipos de Ángulos según su Posición (Relativa a otras líneas o ángulos)

• ∠ Adyacentes: Dos ángulos que tienen el mismo vértice, un lado común, y los otros dos lados son semirrectas opuestas (forman un par lineal). Suman 180°. (Ejemplo: ∠1 y ∠2 si juntos forman un ángulo llano).
• ∠ Opuestos por el vértice: Dos ángulos formados cuando dos rectas se cruzan. Comparten el vértice y los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro. Son congruentes (tienen la misma medida). (Ejemplo: Si las rectas se cruzan en un punto, se forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice, como ∠1 y ∠3; ∠2 y ∠4).

Ángulos formados por dos Rectas Paralelas y una Recta Secante (Transversal):

• ∠ Alternos Internos: Pareja de ángulos internos, no adyacentes, situados en lados opuestos de la recta secante. Son congruentes. (Ejemplo: ∠3 y ∠5; ∠4 y ∠6, usando la numeración estándar).
• ∠ Alternos Externos: Pareja de ángulos externos, no adyacentes, situados en lados opuestos de la recta secante. Son congruentes. (Ejemplo: ∠1 y ∠7; ∠2 y ∠8).
• ∠ Correspondientes: Pareja de ángulos, uno interno y otro externo, no adyacentes, situados en el mismo lado de la recta secante. Son congruentes. (Ejemplo: ∠1 y ∠5; ∠2 y ∠6; ∠3 y ∠7; ∠4 y ∠8. Corrección: el ejemplo original (1,3) era incorrecto para correspondientes).

Geometría del Triángulo

Rectas y Puntos Notables de un Triángulo

• Alturas y Ortocentro: Una altura es un segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). El punto donde se intersecan las tres alturas se llama ortocentro (H).
• Medianas y Baricentro (o Gravicentro): Una mediana es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. El punto donde se intersecan las tres medianas se llama baricentro (G). Es el centro de gravedad del triángulo.
• Mediatrices y Circuncentro: Una mediatriz de un lado es la recta perpendicular a ese lado que pasa por su punto medio. El punto donde se intersecan las tres mediatrices se llama circuncentro (O). Es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices (circunferencia circunscrita).
• Bisectrices e Incentro: Una bisectriz de un ángulo interior es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. El punto donde se intersecan las tres bisectrices interiores se llama incentro (I). Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Suma de Ángulos en un Triángulo

• Ángulos Internos: La suma de las medidas de los tres ángulos internos de cualquier triángulo es siempre 180°.
• Ángulos Externos: La suma de las medidas de los tres ángulos externos de un triángulo (considerando un ángulo externo por cada vértice, formado por un lado y la prolongación del adyacente) es siempre 360°. Además, cada ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes a él.

Semejanza de Triángulos y Teorema de Tales

Dos triángulos son semejantes (denotado por el símbolo ~) si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Esto implica que sus ángulos correspondientes son congruentes (iguales) y sus lados correspondientes son proporcionales. La razón constante entre las longitudes de los lados correspondientes se llama razón de semejanza.

El Teorema de Tales, en un contexto más general, se refiere a la proporcionalidad de segmentos creados cuando un conjunto de rectas paralelas es cortado por dos rectas secantes. Una aplicación directa se ve en la semejanza de triángulos formados por paralelas. La relación a/a' = c/c' puede surgir en este contexto.

Criterios de Semejanza de Triángulos:

1. Criterio AA (Ángulo-Ángulo): Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes.

   Si ∠A = ∠A' y ∠C = ∠C', entonces ΔABC ~ ΔA'B'C'.

   

2. Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): Dos triángulos son semejantes si sus tres pares de lados correspondientes son proporcionales.

   Si a/a' = b/b' = c/c', entonces ΔABC ~ ΔA'B'C'. (Corrección: el original usaba '=' en lugar de '~' para semejanza)

   

3. Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado): Dos triángulos son semejantes si tienen un par de ángulos correspondientes congruentes y los lados que forman dichos ángulos son proporcionales.

   Si ∠K = ∠K' y los lados que lo forman cumplen g/g' = h/h', entonces ΔGHK ~ ΔG'H'K'. (Corrección: el original usaba '=' en lugar de '~' para semejanza)