Fundamentos de Álgebra y Funciones: Conceptos Clave y Propiedades Matemáticas Esenciales

Conceptos Fundamentales de Álgebra

Sistema de Numeración: Es un conjunto de principios, convenios y símbolos que se utilizan para expresar y comunicar cantidades. Estos sistemas emplean cifras y reglas para combinar dichas cifras.

Intervalo: Es un subconjunto del conjunto de los números reales, cuyos elementos están comprendidos entre dos límites que pueden o no pertenecer a dicho intervalo.

Potenciación: Es una forma abreviada de expresar la multiplicación sucesiva de un mismo factor (la base), tantas veces como lo indica el exponente.

Radicación: Es la operación matemática inversa a la potenciación. Permite encontrar la raíz de un número (el radicando) conocido el índice.

Desigualdad: Es una relación de orden que se establece entre dos valores o expresiones matemáticas cuando estos son distintos (utilizando símbolos como <, >, ≤, ≥).

Inecuación: Es una desigualdad algebraica en la cual existe una o varias incógnitas cuyo conjunto solución se debe determinar.

Relaciones y Funciones

Relación: Se establece entre dos o más conjuntos no vacíos, donde un nexo o criterio relaciona los elementos de dichos conjuntos.

Función: Es una regla o correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto de partida ($A$) uno y solo un elemento del conjunto de llegada ($B$). Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Producto Cartesiano ($X \times Y$): Es el conjunto formado por todos los pares ordenados $(x, y)$ posibles, donde $x$ pertenece al conjunto $X$ e $y$ pertenece al conjunto $Y$.

Función de Variable Real: Ocurre cuando su dominio y su rango (o recorrido) son el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) o son subconjuntos de $\mathbb{R}$.

Elementos de una Función

• Dominio ($Dom f$): Es el conjunto de partida de la función.
• Codominio ($Cod f$): Es el conjunto de llegada de la función.
• Rango o Recorrido ($Rec f$): Es el conjunto formado por los elementos del codominio que son la imagen de los elementos del dominio.
• Grafo o Gráfica: Es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas $(x, y)$ tales que $x \in Dom f$ y $y \in Rec f$.

Representación de Funciones

• Forma Verbal: Es la relación entre las variables expresada mediante un enunciado o descripción de palabras.
• Fórmula (Expresión Algebraica): Es la expresión algebraica de la función, simbolizada como $y = f(x)$, donde $x$ es la variable independiente (elementos del $Dom f$) e $y$ es la variable dependiente (elementos del $Rec f$).
• Tabla de Valores: Es un arreglo donde se ubican los valores de la variable independiente ($x$) y los valores correspondientes de la variable dependiente ($y$).
• Gráfica: Es la representación visual de la función, generalmente mediante un diagrama cartesiano, donde los elementos del dominio se ubican en el eje horizontal ($x$) y los elementos del rango en el eje vertical ($y$).

Estudio del Comportamiento Local y Global de la Función

• Interceptos (Puntos de Corte): Son los puntos donde la gráfica corta los ejes coordenados.

• Análisis de las Simetrías

  • Simetría respecto al Eje Y (Función Par): Si para todo $x$ perteneciente al dominio de la función, se verifica que $f(x) = f(-x)$. Esto significa que a elementos opuestos del dominio le corresponden imágenes iguales.
  • Simetría respecto al Origen (Función Impar): Si para todo $x$ perteneciente al dominio de la función, se verifica que $-f(x) = f(-x)$. Esto significa que a elementos opuestos del dominio le corresponden imágenes opuestas.
• Extensión de la Curva (Determinación del Dominio y Rango).
• Ecuación de las Asíntotas (Verticales, Horizontales u Oblicuas).
• Estudio de la Positividad y Negatividad: Determina en qué intervalos del dominio la curva está sobre ($f(x) > 0$) o bajo ($f(x) < 0$) el eje $x$. Para esto, es útil que $f(x)$ esté factorizada y determinar los puntos críticos o raíces.

• Monotonía

  Estudia en qué intervalos del dominio la función es creciente o decreciente.

  • Creciente: Al aumentar los valores del dominio ($x$), sus imágenes ($y$) también aumentan. (Relacionado con la pendiente $M > 0$).
  • Decreciente: Al aumentar los valores del dominio ($x$), sus imágenes ($y$) disminuyen. (Relacionado con la pendiente $M < 0$).
• Gráfico (Representación final de la función).