Fundamentos de Álgebra: Expresiones, Factorización y Progresiones

¿Qué es una expresión algebraica?

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes:

• Longitud de la circunferencia: L = 2πr, donde r es el radio.
• Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado.
• Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista.

Expresiones algebraicas comunes

• El doble o duplo de un número: 2x
• El triple de un número: 3x
• El cuádruplo de un número: 4x
• La mitad de un número: x/2

Regla de Ruffini

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini, vamos a tomar de ejemplo la división: (x⁴ − 3x² + 2) : (x − 3)

1. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2. Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
4. Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

Descomposición factorial y cálculo de raíces

Factor común

1. x³ + x² = x² (x + 1)
   Las raíces son: x = 0 y x = −1.
2. 2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)
   Solo tiene una raíz: x = 0; ya que el polinomio (x² + 2) no tiene ningún valor que lo anule, debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo; por tanto, es irreducible.
3. x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)
   Las raíces son x = a y x = b.

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia: a² − b² = (a + b) · (a − b)

• x² − 4 = (x + 2) · (x − 2)
  Las raíces son x = −2 y x = 2.
• x⁴ − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) = (x + 2) · (x − 2) · (x² + 4)
  Las raíces son x = −2 y x = 2.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en la que obtenemos cada término (excepto el primero) a partir del anterior sumando un número fijo, llamado d, que representa la diferencia de la progresión.

En todas las progresiones aritméticas: a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃ = d

Ejemplo: ¿Es la siguiente sucesión una progresión aritmética? 3, 6, 9, 12, 15, 18...

6 - 3 = 3; 9 - 6 = 3; 12 - 9 = 3; 15 - 12 = 3...
Es una progresión aritmética ya que cumple las igualdades, y d = 3.

Ecuación de la recta

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo: y = mx + b